考虑以下著名的难题。
在一个国家，所有家庭都想要一个男孩。他们一直生孩子，直到男孩出生。该国男孩和女孩的预期比例是多少?
如果我们知道在概率和期望中得出以下有趣的结果，则可以轻松解决此难题。
如果每个试验中成功的概率为p，则直到成功的预期试验次数为1 / p
证明：令R为一个随机变量，表示成功之前的试验次数。
The expected value of R is sum of following infinite series
E[R] = 1*p + 2*(1-p)*p + 3*(1-p)2*p + 4*(1-p)3*p + ........
Taking 'p' out
E[R] = p[1 + 2*(1-p) + 3*(1-p)2 + 4*(1-p)3 + .......] ---->(1)
Multiplying both sides with '(1-p)' and subtracting
(1-p)*E[R] = p[1*(1-p) + 2*(1-p)2 + 3*(1-p)3 + .......] --->(2)
Subtracting (2) from (1), we get
p*E[R] = p[1 + (1-p) + (1-p)2 + (1-p)3 + ........]
Canceling p from both sides
E[R] = [1 + (1-p) + (1-p)2 + (1-p)3 + ........]
Above is an infinite geometric progression with ratio (1-p).
Since (1-p) is less than, we can apply sum formula.
E[R] = 1/[1 - (1-p)]
= 1/p
男孩女孩比例难题的解决方案：
让我们使用以上结果来解决这个难题。在给定的难题中，每次试验成功的概率为1/2(假设女孩和男孩的可能性均等)。
Let p be probability of having a baby boy.
Number of kids until a baby boy is born = 1/p
= 1/(1/2)
= 2
Since expected number of kids in a family is 2,
ratio of boys and girls is 50:50. 让我们讨论使用以上结果的另一个问题。
优惠券收集器问题：
假设彩票中有n种类型的优惠券，并且每个批次包含一张优惠券(概率为1 = n)。直到我们每种类型的至少有一张优惠券，才需要购买(预期)多少手。
这个问题的解决方案也基于上述结果。
令X i为收集新优惠券之前购买的手数。
请注意，X 1为1，因为第一个优惠券始终是新的优惠券(之前未收集)。
假设“ p”是下次购买时收集到第二张优惠券的概率。 p的值为(n-1)/ n。因此，在选择第二张新优惠券之前需要进行的试验次数为1 / p，这意味着n /(n-1)。 [这是我们使用以上结果的地方]
同样，收集第3张新优惠券之前需要进行的试验次数为n /(n-2)
Using Linearity of expectation,
we can say that the total number of expected trials =
1 + n/(n-1) + n/(n-2) + n/(n-3) + .... + n/2 + n/1
= n[1/n + 1/(n-1) + 1/(n-2) + 1/(n-3) + ....+ 1/2 + 1/1]
= n * Hn
Here Hn is n-th Harmonic number
Since Logn <= Hn <= Logn + 1, we need to buy around
nLogn lots to collect all n coupons. 锻炼：
1)投掷6个面临的公平骰子，直到掷骰子结果为“ 5”为止。预期的投掷次数是多少?
2)如果男婴的概率是1/3，则上述拼图中男孩和女孩的比例是多少?
参考：
http://www.cse.iitd.ac.in/~mohanty/col106/Resources/linearity_expectation.pdf
http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-fall-2010/video-lectures/lecture-22-expectation-i/