计算在n个人之间分配m项的方法

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📜 计算在n个人之间分配m项的方法

📅 最后修改于: 2021-04-28 18:09:24 🧑 作者: Mango

给定m和n分别代表芒果数量和人数。任务是计算在n个人之间分配m芒果的方式数量。考虑变量m和n，我们得出4个典型的用例，其中芒果和人被认为是：

1)两者相同
2)分别唯一和相同
3)分别相同和唯一
4)两者都独特

先决条件：二项式系数|排列组合

案例1：在n个相同的人中分配m个相同的芒果

如果我们尝试连续传播m个芒果，我们的目标是将这些m个芒果分配给n个坐在这些芒果之间的人。我们需要做的就是将这m个芒果集中到n个集合中，以便可以将这n个集合中的每一个分别分配给n个人。

为了完成上述任务，我们需要通过使用n-1个分区程序来创建n组芒果来对芒果的初始排列进行分区。在这种情况下，我们需要一起布置m个芒果和n-1个分区。所以我们需要计算我们的答案的方法。

下图显示了放置3个分区(即P1，P2，P3)后创建的分区排列的示例(一种方式)，该分区将所有7个芒果划分为4个不同的分区，以便4个人可以拥有各自分区的自己的部分：
分区后的排列示例

因为所有芒果都被认为是相同的，所以我们划分经过扣除重复的条目。同样，我们再次将上述表达式除以因为所有人也被认为是相同的。

我们得到的最终表达式是：

上面的表达式实际上等于二项式系数：

例子：

Input :  m = 3, n = 2
Output : 4
There are four ways
3 + 0, 1 + 2, 2 + 1 and 0 + 3 

Input :  m = 13, n = 6
Output : 8568

Input :  m = 11, n = 3
Output : 78

C++

// C++ code for calculating number of ways
// to distribute m mangoes amongst n people
// where all mangoes and people are identical
#include 
using namespace std;
  
// function used to generate binomial coefficient
// time complexity O(m)
int binomial_coefficient(int n, int m)
{
    int res = 1;
  
    if (m > n - m)
        m = n - m;
  
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        res *= (n - i);
        res /= (i + 1);
    }
  
    return res;
}
  
// helper function for generating no of ways
// to distribute m mangoes amongst n people
int calculate_ways(int m, int n)
{
    // not enough mangoes to be distributed
    if (m < n) 
        return 0;
      
    // ways  -> (n+m-1)C(n-1)
    int ways = binomial_coefficient(n + m - 1, n - 1);
    return ways;
}
  
// Driver function
int main()
{
    // m represents number of mangoes
    // n represents number of people
    int m = 7, n = 5;
  
    int result = calculate_ways(m, n);
    printf("%d\n", result);
  
    return 0;
}

Java

// Java code for calculating number of ways
// to distribute m mangoes amongst n people
// where all mangoes and people are identical
  
import java.util.*;
  
class GFG {
  
    // function used to generate binomial coefficient
    // time complexity O(m)
    public static int binomial_coefficient(int n, int m)
    {
        int res = 1;
  
        if (m > n - m)
            m = n - m;
  
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            res *= (n - i);
            res /= (i + 1);
        }
  
        return res;
    }
  
    // helper function for generating no of ways
    // to distribute m mangoes amongst n people
    public static int calculate_ways(int m, int n)
    {
  
        // not enough mangoes to be distributed
        if (m < n) {
            return 0;
        }
  
        // ways  -> (n+m-1)C(n-1)
        int ways = binomial_coefficient(n + m - 1, n - 1);
        return ways;
    }
  
    // Driver function
    public static void main(String[] args)
    {
  
        // m represents number of mangoes
        // n represents number of people
        int m = 7, n = 5;
  
        int result = calculate_ways(m, n);
        System.out.println(Integer.toString(result));
  
        System.exit(0);
    }
}

Python3

# Python code for calculating number of ways 
# to distribute m mangoes amongst n people
# where all mangoes and people are identical
  
  
# function used to generate binomial coefficient 
# time complexity O(m)
def binomial_coefficient(n, m):
    res = 1
  
    if m > n - m:
        m = n - m
  
    for i in range(0, m):
        res *= (n - i)
        res /= (i + 1) 
  
    return res
  
# helper function for generating no of ways
# to distribute m mangoes amongst n people
def calculate_ways(m, n):
  
    # not enough mangoes to be distributed    
    if m (n + m-1)C(n-1)
    ways = binomial_coefficient(n + m-1, n-1)
    return int(ways)
  
# Driver function
if __name__ == '__main__':
  
    # m represents number of mangoes 
    # n represents number of people
    m = 7 ;n = 5
  
    result = calculate_ways(m, n)
    print(result)

C#

// C# code for calculating number 
// of ways to distribute m mangoes 
// amongst n people where all mangoes
// and people are identical
using System;
  
class GFG 
{
  
// function used to generate 
// binomial coefficient
// time complexity O(m)
public static int binomial_coefficient(int n, 
                                       int m)
{
    int res = 1;
  
    if (m > n - m)
        m = n - m;
  
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        res *= (n - i);
        res /= (i + 1);
    }
  
    return res;
}
  
// helper function for generating 
// no of ways to distribute m 
// mangoes amongst n people
public static int calculate_ways(int m, int n)
{
  
    // not enough mangoes 
    // to be distributed
    if (m < n)
    {
        return 0;
    }
  
    // ways -> (n+m-1)C(n-1)
    int ways = binomial_coefficient(n + m - 1, 
                                    n - 1);
    return ways;
}
  
// Driver Code
public static void Main()
{
  
    // m represents number of mangoes
    // n represents number of people
    int m = 7, n = 5;
  
    int result = calculate_ways(m, n);
    Console.WriteLine(result.ToString());
}
}
  
// This code is contributed
// by Subhadeep

PHP

 $n - $m) 
        $m = $n - $m; 
  
    for ($i = 0; $i < $m; ++$i) 
    { 
        $res *= ($n - $i); 
        $res /= ($i + 1); 
    } 
  
    return $res; 
} 
  
// Helper function for generating 
// no of ways to distribute m.
// mangoes amongst n people 
function calculate_ways($m, $n) 
{ 
    // not enough mangoes to
    // be distributed 
    if ($m < $n) 
        return 0; 
      
    // ways -> (n+m-1)C(n-1) 
    $ways = binomial_coefficient($n + $m - 1,
                                      $n - 1); 
    return $ways; 
} 
  
// Driver Code 
  
// m represents number of mangoes 
// n represents number of people 
$m = 7;
$n = 5; 
  
$result = calculate_ways($m, $n); 
echo $result; 
  
// This code is contributed 
// by Shivi_Aggarwal
?>

输出：

时间复杂度： O(n)
辅助空间： O(1)

案例2：在n个相同的人中分配m个独特的芒果
在这种情况下，要计算在n个相同的人中分配m个独特的芒果的方式数量，我们只需要将最后一个表达式相乘即可我们在案例1中计算出。
所以我们对这种情况的最终表达是