QA – 安置测验|比例和比例|问题 6

问题描述

给定一个正整数 $n$，找到所有满足下面条件的两个整数 $(a, b)$：

1. $a$ 和 $b$ 都是小于 $n$ 的正整数
2. $a$ 和 $b$ 互质（最大公约数为 $1$）
3. $a$ 除以 $b$ 的结果与 $b$ 除以 $a$ 的结果取整后相等

请你根据给定的 $n$ 返回符合条件的整数对的数量。

示例

输入：$n = 5$

输出：$2$

解释：符合条件的两个整数对为 $(1, 2)$ 和 $(2, 3)$。

解法

首先，对于整数对 $(a, b)$，如果 $a$ 除以 $b$ 的结果与 $b$ 除以 $a$ 的结果是整数，那么有：

$$ \frac{a}{b} = k \Leftrightarrow a = kb \ \frac{b}{a} = l \Leftrightarrow b = la $$

其中，$k$ 和 $l$ 都是正整数。代入互质的条件，有：

$$ \gcd(a, b) = 1 \Leftrightarrow \gcd(k, l) = 1 $$

因此，对于一个正整数 $n$，我们可以枚举所有 $1 \leq a < b < n$ 的整数对 $(a, b)$，并检查它们是否互质，如果互质，则计算它们的商 $k = \lfloor \frac{a}{b} \rfloor$，判断条件是否成立即可。

代码实现如下：

def gcd(a, b):
    """
    计算 a 和 b 的最大公约数
    """
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def count_pairs(n):
    """
    统计符合条件的整数对的数量
    """
    count = 0
    for a in range(1, n):
        for b in range(a + 1, n):
            if gcd(a, b) == 1:
                k = a // b
                l = b // a
                if k == l:
                    count += 1
    return count

时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

总结

本题是一道比较简单的数学问题，可以通过列方程和暴力枚举的方法解决。需要注意的是，在计算两个整数的最大公约数时，可以使用欧几里得算法快速计算。