从具有更新的字符串查找范围[L，R]中的Kth个最大字符的查询

介绍

在一些需要对动态字符串进行操作的场景中，我们需要实现从字符串的某个范围内查找第K大的字符。一种比较常见并且高效的方法是利用数据结构——线段树。

线段树是一种类似于二叉树的数据结构，常用于解决区间查询问题。在字符串问题中，我们可以将字符串中的每个字符视为一个叶节点，并将这些叶节点依次按照顺序插入线段树中。每个节点维护其所覆盖的字符范围内的信息，如最大值、最小值、和、平均值等。这样，我们就能在O(logN)的时间复杂度内实现对字符串某个范围内元素的查询和更新。

线段树实现

考虑字符串中每个字符对应一个叶节点，我们可以把整个字符串看成一棵线段树。在线段树上每个节点上，我们需要维护该节点所表示的子串中字符的出现频次。另外，由于我们需要找到第K大的字符，我们还需要维护节点上字符出现频次的前缀和——即该节点的左儿子所表示的子串中字符出现频次的累加和。

为了方便实现，我们可以使用一个类来表示线段树的节点，它的成员变量可以包括：

• 该节点所表示的子串的左右端点；
• 左右子树的指针；
• 字符出现频次数组freq和前缀和数组sum。

代码如下：

class Node {
public:
    int l, r;     // 该节点所表示的子串的左右端点
    Node *left, *right;   // 左右子树指针
    vector<int> freq;   // 字符出现频次数组
    vector<int> sum;   // 字符出现频次前缀和数组

    Node(int L, int R) {   // 构造函数
        l = L, r = R;
        freq.resize(26, 0);
        sum.resize(26, 0);
        if (l < r) {
            int m = (l + r) / 2;
            left = new Node(l, m);
            right = new Node(m + 1, r);
        } else {
            left = nullptr;
            right = nullptr;
        }
    }
};

注意到我们使用了两个vector数组分别保存字符出现频次和前缀和，其中vector数组的下标为字符的ASCII码（本例中只考虑小写字母，因此可以使用大小为26的freq和sum数组）。Node类的构造函数如上，指针为空情况下即为叶子节点。

线段树的主要操作包括：查询、更新。下面分别给出代码。

查询操作

对于任何一个线段树节点，我们可以在O(1)时间复杂度内计算它所表示的子串中每个字符的出现次数。这种操作可以使用前缀和数组实现。

利用线段树的特点，我们可以从最顶层开始不断递归下去，直到查询区间[L, R]与当前节点的覆盖区间[l, r]完全重叠或者恰好被包含。这时，我们就可以直接返回节点freq数组中所有出现在[L, R]中的字符的出现频次和。

代码如下：

int query(Node* p, int L, int R) {
    if (p == nullptr || p->r < L || p->l > R) return 0;   // 没有覆盖区间
    if (L <= p->l && p->r <= R) {
        int ret = 0;   // 统计[L, R]中所有字符的出现频次和
        for (int i = 0; i < 26; ++i) {
            if (p->freq[i] > 0) {
                ret += min(p->freq[i], R) - max(p->freq[i], L) + 1;
            }
        }
        return ret;
    } else {
        return query(p->left, L, R) + query(p->right, L, R);
    }
}

更新操作

与查询操作类似，我们也可以从最顶层开始递归下去直到叶子节点，然后在叶子节点处更新freq数组和sum数组。

代码如下：

void update(Node* p, int i, int val) {
    if (p == nullptr || i < p->l || i > p->r) return;   // 没有覆盖区间
    if (p->l == p->r) {
        p->freq[val]++;
        p->sum[val] = p->freq[val];
    } else {
        update(p->left, i, val);
        update(p->right, i, val);
        for (int j = 0; j < 26; ++j) {
            p->freq[j] = p->left->freq[j] + p->right->freq[j];
            p->sum[j] = p->left->sum[j];
            if (p->left->freq[j] > 0) {
                p->sum[j] += p->right->sum[j];
            }
        }
    }
}

总结

通过使用线段树，我们可以高效地实现从字符串某个范围内查找第K大的字符。本文实现的算法的时间复杂度为O(NlogN)，其中N是字符串长度。需要注意的是，由于我们使用了vector数组来保存每个节点上的字符出现频次信息，因此需要合理控制内存使用。