形式为a^ib^jc^k的子序列数

介绍

给定一个字符串，求该字符串中子序列满足形式为a^ib^jc^k的个数。其中i,j,k均为非负整数，并且满足i>=1,j>=1,k>=1。

例如字符串"abbccc"满足该条件的子序列有："abc", "abbc", "abcc", "abbcc", "abccc", "abbccc"，共6种。

思路

考虑到该字符串中存在字符的顺序，可以从前往后进行遍历，选择匹配当前字符的部分子序列，同时记录到目前为止的a，b，c的个数。当找到了a^ib^j后，再统计后面的c的个数即可。

具体实现可以通过动态规划的方法进行，用dp[i][j][k]表示匹配到了前i,j,k个a,b,c的子序列数。当遍历到第i个字符时，分两种情况：

• 若该字符与前面的c匹配，则dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] （即该字符不会对子序列的数量产生贡献）
• 若该字符与前面的b匹配，则dp[i][j][k] = dp[i-1][j-1][k] （即用前面的b来匹配当前字符）
• 若该字符与前面的a匹配，则dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k] （即当前字符可以视为新的a，或与前面的b匹配）
• 若该字符不匹配，则dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k] + dp[i-1][j][k-1] （即当前字符可以视为新的c，或与前面的b或c匹配）

最终所求的结果为dp[n][n][n]，其中n为字符串长度。

代码

def count_subsequences(s):
    n = len(s)
    # 初始化dp数组
    dp = [[[0] * (n+1) for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        for j in range(n+1):
            dp[i][j][0] = 1
    # 开始动态规划
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            for k in range(1, j+1):
                if s[i-1] == 'c':
                    dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]
                elif s[i-1] == 'b':
                    dp[i][j][k] = dp[i-1][j-1][k]
                elif s[i-1] == 'a':
                    dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k]
                else:
                    dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k] + dp[i-1][j][k-1]
    return dp[n][n][n]

该算法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度也为O(n^3)。由于需要枚举i、j、k三个维度，所以算法复杂度较高，应该注意处理字符串过长的情况。