计数长度为4的指定形式子序列

在一个序列中查找指定形式的子序列数量是一个经典问题。给定一个序列 $A$，求以下形式的子序列个数：

$$ (x, x, x+1, x+1) $$

其中 $x$ 是序列中的任意一个整数。

方法一：暴力枚举

我们可以直接枚举每个可能的子序列，然后检查它是否符合条件。具体来说，我们可以使用四重嵌套循环枚举所有长度为 4 的子序列，检查它们是否符合条件。这个方法的时间复杂度是 $O(n^4)$，如果序列很长，会非常慢。

代码实现：

def count_subsequences(seq):
    n = len(seq)
    cnt = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            for k in range(j+1, n):
                for l in range(k+1, n):
                    if seq[i] == seq[j] and seq[j] == seq[k] and seq[k] == seq[l] - 1:
                        cnt += 1
    return cnt

方法二：哈希表

我们可以使用哈希表来优化暴力方法。对于每个数 $x$，我们可以记录一个哈希表 $cnt$，其中 $cnt[x]$ 表示序列中值为 $x$ 的数出现的次数。然后我们可以再次使用四重嵌套循环来枚举所有长度为 4 的子序列。这一次，我们只需要检查它们是否符合条件，不需要统计它们出现的次数。对于每个子序列 $(a,b,c,d)$，我们只需要检查 $cnt[a] > 1$ 且 $cnt[d] > 1$，即它们出现了至少两次，同时 $c = a+1$ 且 $d = b+1$，即它们符合指定形式。这个方法的时间复杂度是 $O(n^2)$，比暴力方法快很多。

代码实现：

from collections import defaultdict

def count_subsequences(seq):
    cnt = defaultdict(int)
    for x in seq:
        cnt[x] += 1
    res = 0
    for i in range(len(seq)):
        for j in range(i+1, len(seq)):
            a, b = seq[i], seq[j]
            if cnt[a] > 1 and cnt[b+1] > 1 and b+1 in cnt and a+1 in cnt:
                res += cnt[a] * cnt[b+1]
    return res

以上两种方法都可以计算指定形式的子序列数量，但是方法二更加高效。