谜题56 |龙猫关系

问：一对年轻的龙猫（每种性别各一只）被放在一个岛上。一对龙猫要到 2 个月大时才会繁殖。 2 个月大后，每对龙猫每个月都会产生另一对（见下图）。假设没有龙猫死亡，求 n 个月后岛上龙猫对数的递推关系。

解决方案：

让我们用 f(n) 表示 n 个月后的龙猫对数。

可以使用递归关系对龙猫种群进行建模。第一个月末，岛上的龙猫对数为f(1) = 1。由于这对在第二个月不繁殖，因此f(2) = 1。要找到 n 个月后的对数，将上个月岛上的数字 f(n−1) 和新生对的数量相加，即 f(n−2) ，因为每对新生对来自配对至少 2 个月大。

因此，序列 {f(n)} 满足递推关系

f(n) = f(n−1) + f(n−2)

对于 n ≥ 3 以及初始条件 f(1) = 1 和 f(2) = 1。此递推关系和初始条件唯一确定此序列。

如果您仔细观察，这就是斐波那契数列的递推关系。 （参见图片中的“总对数”列）

因此，n 个月后岛上的龙猫对数由第 n 个斐波那契数给出。

参考： http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html