最大总和为k的矩形子矩阵

在处理数值矩阵时，经常要寻找满足特定条件的子矩阵。其中一种常见需求是找到最大总和为k的子矩阵。该问题在算法竞赛和数据分析中都非常有意义。

问题描述

给定一个二维整数矩阵 matrix，和一个整数 k，找到一个子矩阵的最大和，使得该最大和不超过 k。

例如，对于以下输入：

matrix = [
   [1, 0, 1],
   [0, -2, 3]
]
k = 2

应该返回 2，因为最大和为 2 的子矩阵是：

[
   [1, 0],
   [0, -2]
]

解决方案

这个问题比较复杂，需要用到一种叫做平衡树的数据结构。平衡树是一种有序集合，支持插入、删除、查找操作，而且每个因子都可以在 O(log n) 的时间复杂度内完成。具体来说，我们可以用红黑树、AVL树等平衡树实现。

以下是粗略的解题思路：

1. 枚举所有的子矩阵，并计算它们的和。
2. 对所有的和进行排序，可以用平衡树维护。
3. 对每个和，使用平衡树查找最接近 k 的和。
4. 迭代所有和，并计算它们与 k 之差的最小值。

具体实现的细节和注意事项可以在代码中看到。

def maxSumSubmatrix(matrix, k):
    """
    :type matrix: List[List[int]]
    :type k: int
    :rtype: int
    """
    if not matrix:
        return 0

    row, col = len(matrix), len(matrix[0])
    ans = float('-inf')

    # 枚举所有子矩阵
    for left in range(col):
        row_sum = [0] * row
        for right in range(left, col):
            for i in range(row):
                row_sum[i] += matrix[i][right]

            # 计算所有子矩阵的和，并用平衡树维护
            accu_sum = [0]
            cur_sum = 0
            for s in row_sum:
                cur_sum += s
                loc = bisect.bisect_left(accu_sum, cur_sum - k)
                if loc < len(accu_sum):
                    ans = max(ans, cur_sum - accu_sum[loc])
                bisect.insort(accu_sum, cur_sum)

    return ans

参考资料

• 题解：最大子矩阵和问题