教资会网络 | UGC NET CS 2017 年一月至三日 |问题 74

本次 UGC NET CS 2017 考试将从一月份持续到三月份，是一次重要的计算机科学考试。问题 74 是其中的一道重要题目，涉及到了程序员需要掌握的一些知识。

题干

给定一个长度为 n 的数组 A[1..n]，请编写一个线性时间算法，找出一个长度至少为 n/2 的子序列 B[i..i+n/2-1]，使得 B 中所有元素的和最大。

解析

首先，我们需要注意到一个性质：如果数组 A 的子序列 C 是 B 的子序列，则 C 的和必定小于等于 B 的和。因此，我们不需要考虑所有长度小于 n/2 的子序列。

考虑将数组 A 分成两段 A1 和 A2，其中 A1 包含前 n/2 个元素，A2 包含后 n/2 个元素。存在以下四种可能的情况：

1. 最优解在 A1 中；
2. 最优解在 A2 中；
3. 最优解跨越了 A1 和 A2；
4. 最优解不跨越 A1 和 A2。

第一种和第二种情况比较容易处理，可以通过递归求解得出最优解。第四种情况的最优解可以通过对 A1 和 A2 分别求最大子序列和得出。问题在于第三种情况。

假设最优解跨越了 A1 和 A2，我们需要计算 A1 和 A2 中以中间元素为结尾的最大子序列和。考虑记 S1[i] 为以 A1[1..i] 中以 A1[i] 结尾的最大子序列和，S2[i] 为以 A2[1..i] 中以 A2[i] 开头的最大子序列和。我们的目标是找到最大的 S1[i] + S2[i+1]。

不难发现，对于 1 <= i <= n/2，S1[i] 可以通过一次线性扫描得到。同样地，对于 n/2 <= j <= n，S2[j-n/2] 可以通过一次逆序线性扫描得到。因此，我们可以在 O(n) 时间内完成对 S1 和 S2 的计算。

最终的最大子序列和即为上面提到的四种情况中的最大值。因此，我们可以用一个递归函数来计算它。

代码

def max_subarray(A):
    def f(l, r):
        if l == r:
            return A[l], l, r
        m = (l + r) // 2
        left = f(l, m)
        right = f(m+1, r)
        center = find_max_crossing_subarray(l, m, r)
        return max(left, right, center, key=lambda x: x[0])

    def find_max_crossing_subarray(l, m, r):
        lmax = rmax = -float('inf')
        lidx = ridx = m
        sum = 0
        for i in range(m, l-1, -1):
            sum += A[i]
            if sum > lmax:
                lmax = sum
                lidx = i
        sum = 0
        for i in range(m+1, r+1):
            sum += A[i]
            if sum > rmax:
                rmax = sum
                ridx = i
        return lmax + rmax, lidx, ridx

    return f(0, len(A)-1)[0]

其中，max_subarray 函数接受一个数组 A 并返回一个最大子序列和。f 函数是计算最大子序列和的递归函数，find_max_crossing_subarray 函数计算跨越数组 A 中心的最大子序列和。注意代码中的 slice 和索引。