随机算法|组合3(1/2近似中位数)

我们强烈建议您参考以下文章作为前提条件。

随机算法|第一组(介绍和分析)
随机算法|第2组(分类和应用)

在这篇文章中，讨论了蒙特卡洛算法。

问题陈述：给定一个n个数字且ε> 0的未排序数组A []，请计算其秩(在已排序A []中的位置)在[(1-ε)n / 2，(1 +ε)范围内的元素n / 2]。
对于½近似中值算法＆epsilom;是1/2 =>等级应在[n / 4，3n / 4]范围内

我们可以在O(n)预期时间和O(n)最坏情况时间中找到第k个最小元素。

如果我们希望在不到O(n)的时间内允许较低的可能误差怎么办?
以下步骤表示一种算法，该算法的执行时间为O((Log n)x(Log Log n))次，并以不大于2 / n ^2的概率产生错误的结果。

1. 从数组中随机选择k个元素，其中k = c log n(c是一个常数)
2. 然后插入一组。
3. 对集合的元素进行排序。
4. 返回集合的中值，即集合中的第(k / 2)个元素

   C

   /* C++ program to find Approximate Median using
      1/2 Approximate Algorithm */
   #include
   using namespace std;
     
   // This function returns the Approximate Median
   int randApproxMedian(int arr[],int n)
   {
       // Declaration for the random number generator
       random_device rand_dev;
       mt19937 generator(rand_dev());
     
       // Random number generated will be in the range [0,n-1]
       uniform_int_distribution distribution(0, n-1);
     
       if (n==0)
           return 0;
     
       int k = 10*log2(n); // Taking c as 10
     
       // A set stores unique elements in sorted order
       set s;
       for (int i=0; i ::iterator itr = s.begin();
     
       // Report the median of the set at k/2 position
       // Move the itr to k/2th position
       advance(itr, (s.size()/2) - 1);
     
       // Return the median
       return *itr;
   }
     
   // Driver method to test above method
   int main()
   {
       int arr[] = {1, 3, 2, 4, 5, 6, 8, 7};
       int n = sizeof(arr)/sizeof(int);
       printf("Approximate Median is %d\n",randApproxMedian(arr,n));
       return 0
   }

   Java

   /* Java program to find Approximate Median using
      1/2 Approximate Algorithm */
   import java.util.Iterator;
   import java.util.Random;
   import java.util.TreeSet;
     
     
   class Test
   {
       static int arr[] = new int[]{1, 3, 2, 4, 5, 6, 8, 7} ;
         
       // This function returns the Approximate Median
       static int randApproxMedian(int n)
       {
           // Declaration for the random number 
           Random r = new Random();
             
           if (n==0)
               return 0;
             
           double k1 = 10*Math.log(n); // Taking c as 10
          
           int k = (int)k1;
             
           // A treeset stores unique elements in sorted order
           TreeSet s = new TreeSet();
           for (int i=0; i itr = s.iterator();
             
           int temp = s.size()/2 - 1;
             
           for (int i = 0; i < temp; i++) {
               itr.next();
           }
          
           // Return the median
           return itr.next();
       }
      
       // Driver method to test the above function
       public static void main(String[] args) {
         
           System.out.println("Approximate Median is " + randApproxMedian(arr.length));
         
       }
   }
   Output:Approximate Median is 4

   时间复杂度：
   我们使用C++中STL提供的集合。在STL集中，每个元素的插入都为O(log k)。因此，对于k次插入，花费的时间为O(k log k)。
   现在用c log n替换k
   => O(c log n(log(clog n)))=> O(log n(log log n))

   误差概率如何小于2 / n ² ?
   如果集合S至少有k / 2个元素来自左四分之一或右四分之一，则算法会出错。
   

   可视化此语句非常容易，因为我们报告的中位数将是第(k / 2)个元素，如果我们从左四分之一(或右四分之一)中取k / 2个元素，则中位数将是左四分之一(或右四分之一)。

   数组可分为大小为n / 4的四个四分之一。因此，P(选择左四分之一)为1/4。那么，至少k / 2个元素来自左四分之一或右四分之一的概率是多少?此概率问题与以下相同：

   给定一个硬币，使HEADS的概率为1/4，而TAILS的概率为3/4。硬币被扔了k次。我们至少得到k / 2个HEADS小于或等于的概率是多少?

   解释：

   If we put k = c log n for c = 10, we get 
   P <= (1/2)2log n
   P <= (1/2)log n2
   P <= n-2
   

   从左四分之一中至少选择k / 2个元素的概率)<= 1 / n ²
   从左或右四分之一中至少选择k / 2个元素的概率)<= 2 / n ²

   因此，算法产生的错误结果的概率小于或等于2 / n ² 。

   
   参考： www.cse.iitk.ac.in/users/sbaswana/CS648/Lecture-2-CS648.pptx