建立堆的时间复杂度

考虑以下用于构建输入数组A的堆的算法。

BUILD-HEAP(A) 
    heapsize := size(A); 
    for i := floor(heapsize/2) downto 1 
        do HEAPIFY(A, i); 
    end for 
END

快速浏览以上算法，表明运行时间为$O(nlg(n))$ ，因为每次致电Heapify都会产生费用$O(lg(n))$ Build-Heap使$O(n)$这样的电话。
这个上限虽然正确，但不是渐近严格的。

通过观察Heapify的运行时间取决于树的高度“ h”(等于lg(n)，其中n是节点数)，而大多数子树的高度为小的。
当我们沿着树向上移动时，高度“ h”增加。 Build-Heap的第3行从最后一个内部节点的索引(heapsize / 2)(高度= 1)到根(1)的索引(高度= lg(n))运行一个循环。因此， Heapify为每个节点花费不同的时间，这是$O(h)$ 。

为了找到构建堆的时间复杂度，我们必须知道高度为h的节点数。
为此，我们使用一个事实，即大小为n的堆最多具有$\left \lceil \frac{n}{2^{h+1}} \right \rceil$高度为h的节点。

现在，为了得出时间复杂度，我们将Build-Heap的总成本表示为-

(1)   $\begin{flalign*} T(n) &= \sum_{h = 0}^{lg(n)}\left \lceil \frac{n}{2^{h+1}} \right \rceil * O(h)\\ &= O(n * \sum_{h = 0}^{lg(n)}\frac{h}{2^{h}})\\ &= O(n * \sum_{h = 0}^{\infty}\frac{h}{2^{h}})\\ \end{flalign*}$

第2步使用Big-Oh表示法的属性来忽略上限函数和常数2( $2^{h+1} = 2.2^h$ )。类似地，在第三步中，由于我们使用的是Big-Oh表示法，因此可以将求和的上限增加到无穷大。

无限GP的总和(x <1)

(2)   $\begin{align*} \sum_{n = 0}^{\infty}{x}^{n} = \frac{1}{1-x} \end{align*}$

在微分两边并乘以x时，我们得到

(3)   $\begin{align*} \sum_{n = 0}^{\infty}n{x}^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}} \end{align*}$

将在(3)中获得的结果放回到我们的推导(1)中，我们得到

(4)   $\begin{flalign*} &= O(n * \frac{\frac{1}{2}}{(1 - \frac{1}{2})^2})\\ &= O(n * 2)\\ &= O(n)\\ \end{flalign*}$

因此证明了构建二进制堆的时间复杂度是$O(n)$ 。

参考 ：
http://www.cs.sfu.ca/CourseCentral/307/petra/2009/SLN_2.pdf