找到给定周期函数的最大可能值

给定三个数字A，B和N ，任务是找到floor(A * x / B)– A * floor(x / b)的最大可能值，其中x是小于或等于的非负整数N.这里floor(T)=表示不大于实数T的最大整数(GIF函数)。
约束条件：1个≤A≤10 ^6，1≤乙≤10 ^{12，1≤N≤10 12。}输入中的所有值都是整数。

Input: A = 5, B = 7, N = 4 
Output: 2 
Explanation: 
The maximum value is obtained for the value x = 3. On substituting this value in the equation: 
floor((5 * 3)/7) – (5 * floor(3 / 7)) = floor(2.1) – 0 = 2.

Input: A = 11, B = 10, N = 9 
Output: 9  

朴素方法：针对此问题的朴素方法是考虑从1到N的所有可能数字，并计算最大可能值。

时间复杂度： O(N)。

高效方法：想法是观察函数f(x)= floor(A * x / B)– A * floor(x / B) 。

• 我们可以观察到给定的函数是周期函数。这可以通过以下方式证明：

f(x + B) = floor(A * (x + B)/B) – A * floor((x + B)/B) 
=> f(x + B) = floor((A * x / B) + A) – A * floor((x /B) + 1)
By floor-function property, floor(x + Integer) = Integer + floor(x). 
=> f(x + B) = floor(A * x / B) – A * floor(x / B) = f(x) 
 

• 因此，我们可以得出0≤x≤B的结论。但是，如果x = B，则f(x)=0。因此，我们将其排除，得到0≤x≤B-1。
• 但是，我们还必须考虑条件x≤N。由于floor(x)是单调非递减函数，因此我们必须结合两个范围中的最佳值。
• 因此，当x = min(B – 1，N)时，将获得f(x)的最大值。

下面是上述方法的实现：

C++

// C++ Program to find the maximum
// possible value for the given function
 
#include 
using namespace std;
 
// Function to return the maximum
// value of f(x)
int floorMax(int A, int B, int N)
{
    int x = min(B - 1, N);
 
    return (A * x) / B;
}
 
// Driver code
int main()
{
    int A = 11, B = 10, N = 9;
 
    cout << floorMax(A, B, N);
    return 0;
}

Java

// Java program to find the maximum
// possible value for the given function
class GFG{
     
// Function to return the maximum
// value of f(x)
public static int floorMax(int A, int B, int N)
{
    int x = Math.min(B - 1, N);
 
    return (A * x) / B;
}
 
// Driver Code
public static void main(String[] args)
{
    int A = 11, B = 10, N = 9;
     
    System.out.println(floorMax(A, B, N));
}
}
 
// This code is contributed by divyeshrabadiya07

Python3

# Python3 program to find the maximum
# possible value for the given function
  
# Function to return the maximum
# value of f(x)
def floorMax(A, B, N):
     
    x = min(B - 1, N)
  
    return (A * x) // B
  
# Driver code
A = 11
B = 10
N = 9
  
print(floorMax(A, B, N))
 
# This code is contributed by code_hunt

C#

// C# program to find the maximum
// possible value for the given function        
using System;
using System.Collections.Generic;
 
class GFG{        
             
// Function to return the maximum
// value of f(x)
static int floorMax(int A, int B, int N)
{
    int x = Math.Min(B - 1, N);
 
    return (A * x) / B;
}    
         
// Driver Code        
public static void Main (string[] args)
{        
    int A = 11, B = 10, N = 9;
 
    Console.Write(floorMax(A, B, N));
}        
}
 
// This code is contributed by rutvik_56

输出：

9

时间复杂度： O(1)