线性映射

线性映射

设 V 和 W 是域 K 上的向量空间。函数f: V-> W 被称为两个向量 v,u 的线性映射$\epsilon V$和一个标量 c \ $\epsilon$克：

• 如果转换本质上是加法的：

$f(u + v) = f(u) + f(v)$

• 如果它们在标量方面本质上是乘法的。

$f(cu) = c \cdot f(u)$

零/身份转换

线性变换$T: V \rightarrow V$从向量空间到自身称为线性运算符：

• 零转换：对于转换$T: V \rightarrow W$如果满足以下条件，则称为零变换：

$T(v) = 0 \, \forall \, V$

• 身份转换：对于转换$T: V \rightarrow V$如果满足以下条件，则称为身份转换：

$T(v) =v \, \forall \, V$

线性变换的性质

令 T: V \rightarrow W 为线性变换，其中 u,v \epsilon V。那么，以下性质为真：

• $T(0) =0$
• $T(-v) = - T(v)$
• $T(u-v) = T(u) - T(v)$
• 如果$v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + ... + c_n v_n$然后， $T(v) = c_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) + ... + c_n T(v_n)$

矩阵的线性变换

令 T 为 mxn 矩阵，变换 T： $R^n \rightarrow R^m$是线性变换，如果：

$T(v) = Av$

零和单位矩阵操作

• 矩阵 mxn 矩阵是一个零矩阵，对应于从 R^n \rightarrow R^m 的零变换。
• 矩阵 nxn 矩阵是单位矩阵$\mathbb{I_n}$ , 对应于从零变换$R^n \rightarrow R^m$ .

$A \cdot R^m = R^n \\ \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& .& .& .& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& .& .& .&a_{2n} \\ .& .& .& & & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & & .& .\\ a_{m1}& a_{m2}& .& .& .&a_{mn} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ .\\ .\\ .\\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} v_1 + a_{12} v_2 \, .\, \, . a_{1n} v_n \\ .\\ .\\ .\\ .\\ a_{m1} v_1 + a_{m2} v_2 \, .\, \, . a_{mn} v_n \\ \end{bmatrix}$

例子

让我们考虑从 R^{2} \rightarrow R^3 的线性变换，使得：

$L(\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix})= \begin{bmatrix} v_2\\ v_1 - v_2 \\ v_1 + v_2 \end{bmatrix}$

现在，我们将验证它是一个线性变换。为此，我们需要检查线性映射的上述两个条件，首先，我们将检查常数乘法条件：

$L(c \vec{v}) = c \cdot L(\vec{v})$

$L(c\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix})= \begin{bmatrix} c v_1\\ c v_1 - c v_2 \\ c v_1 + c v_2 \end{bmatrix}= c \begin{bmatrix} v_1\\ v_1 - v_2 \\ v_1 + v_2 \end{bmatrix} = c L(\vec{v})$

以及以下转换：

$L(\vec{v} + \vec{w})= L(\vec{v}) + L(\vec{w})$

$\vec{v} =\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \vec{w} =\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} \vec{v} + \vec{w} =\begin{bmatrix} v_1 + w_1\\ v_2 + w_2 \end{bmatrix}$

$L(\vec{v} + \vec{w}) = \begin{bmatrix} v_1 + w_1\\ (v_1 + w_1) - (v_2 + w_2)\\ (v_1 + w_1) + (v_2 + w_2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_1 + w_1\\ (v_1 + v_2) - (w_1 + w_2)\\ (v_1 + v_2) + (w_1 + w_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1\\ (v_1 - v_2)\\ (v_1 + v_2) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} w_1\\ (w_1 - w_2)\\ (w_1 + w_2) \end{bmatrix} = L(\vec{v}) + L(\vec{w})$

证明上述变换是线性变换。非线性变换的示例包括三角变换、多项式变换。

内核/范围空间：

内核空间：

令 T: V \rightarrow W 是线性变换，然后 \forall v \epsilon V 使得：

$T \cdot v =0$

是 T 的核空间。也称为 T 的零空间。

• T:V \rightarrow W 的零变换核空间是 W。
• T:V \rightarrow W 的恒等变换的核空间是 {0}。

内核空间的维度称为 nullity 或 null(T)。

范围空间：

令 T: V \rightarrow W 是线性变换，然后 \forall v \epsilon V 使得：

$T \cdot v = v$

是 T 的范围空间。对于矩阵的线性变换，范围空间总是非空集，因为：

$T \cdot 0 =0$

范围空间的维度称为秩 (T)。 rank 和 nullity 的总和是域的维度：

$null(T) + rank(T) = dim(V)=n$

作为旋转的线性变换

当应用于某个向量时，一些变换运算符给出向量的输出，该向量以原始向量的角度θ旋转。

• 线性变换 T: R^2 \rightarrow R^2 由矩阵给出： $A= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin \theta \\ sin\theta & cos \theta \end{bmatrix}$具有将每个向量逆时针围绕原点 wrt 角 \theta 旋转的特性：

让 v $=\begin{bmatrix} r \, cos \alpha\\ r \, sin \alpha \end{bmatrix}$

$T(v) = A \cdot v= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin \theta \\ sin\theta & cos \theta \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} r \, cos \alpha \\ r \, sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \cdot(\, cos \theta \, cos \alpha - sin \theta \, sin \alpha) \\ r \cdot (\, sin \theta \, cos \alpha + cos \theta \, sin \alpha) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \, cos(\theta + \alpha) \\ r \, sin(\theta + \alpha) \end{bmatrix}$

这类似于将原始向量旋转 \theta。

作为投影的线性变换

线性变换 T: R^3 \rightarrow R^3 由下式给出：

T = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

如果向量由 v = (x, y, z) 给出。那么，T\cdot v = (x, y, 0)。即原向量的正交投影。

微分作为线性变换

让 T： $P(F) \rightarrow P(F)$是微分变换，使得： $T \cdot p(z) = p^{'}(z).$然后对于两个多项式 p(z)， $q(z) \epsilon P(F)$ ， 我们有：

$T(p(z) + q(z)) = (p(z) + q(z))^{'} = p^{'}(z) + q^{'}(z) = T(p(z)) + T(q(z))$

同样，对于标量 a \epsilon F，我们有：

$T(a\cdot p(z)) = (a \cdot p(z))^{'} = a p^{'}(z) = a T(p(z))$

上式证明微分是线性变换。

参考：

• 线性变换幻灯片