超平面，子空间和半空间

在计算几何中，超平面、子空间和半空间是一些重要的概念。它们在机器学习、数据挖掘以及图形学中都有广泛的应用。

超平面

超平面是一个 $n-1$ 维的平面，将 $n$ 维空间分成两个部分。在二维空间中，超平面就是一条直线；在三维空间中，超平面就是一个平面。

一个超平面可以由方程表示:

$$\vec{w} \cdot \vec{x} + b = 0$$

其中 $\vec{w}$ 是一个 $n$ 维法向量，$b$ 是一个标量。对于任意矢量 $\vec{x}$，如果 $\vec{w} \cdot \vec{x} + b > 0$，那么 $\vec{x}$ 就在超平面的一侧，否则就在另一侧。

在机器学习中，超平面被广泛用于支持向量机（SVM）算法。

子空间

子空间是一个向量空间的非空子集，它本身也是一个向量空间。如果 $V$ 是一个 $n$ 维向量空间，那么 $V$ 的子空间可以由一组线性无关的向量张成。

子空间有很多种类型，比如点、线、平面等等。在机器学习中，常常需要在高维空间中找到一个低维子空间来表示数据。

半空间

半空间是超平面将 $n$ 维空间划分成的两个部分之一。它是所有满足 $\vec{w} \cdot \vec{x} + b \geq 0$ 的向量 $\vec{x}$ 的集合。

在数据挖掘中，半空间被广泛应用于聚类和异常检测算法。例如，在 LOF（局部离群因子）算法中，一个点的离群程度可以通过计算它到最近的 $k$ 个邻居的半空间距离得到。

总结

超平面、子空间和半空间是计算几何中的重要概念，在机器学习、数据挖掘和图形学中都有广泛的应用。理解这些概念，对于理解机器学习、数据挖掘和图形学的算法非常有帮助。