超平面、子空间和半空间

1. 超平面：
从几何上讲，超平面是一个几何实体，其维度比其周围空间的维度小 1。

这是什么意思?
意思如下。例如，如果您采用 3D 空间，则超平面是一个 1 维的几何实体。所以它将是二维的，而 3D 空间中的二维实体将是一个平面。现在，如果您采用 2 个维度，那么 1 个无维度将是一维几何实体，即一条线等等。

• 超平面通常由一个方程描述如下

  X ^T n + b =0

• 如果我们将其扩展为 n 个变量，我们将得到这样的结果

  X ₁ n ₁ + X ₂ n ₂ + X ₃ n ₃ + ……….. + X _n n _n + b = 0

• 在二维空间中，我们会得到类似这样的东西，它只不过是一条直线的方程。

  X ₁ n ₁ + X ₂ n ₂ + b = 0

例子：

让我们考虑一个 2D 几何体$n = \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ \end{bmatrix} and\ b = 4$虽然它是一个 2D 几何体，但 X 的值将是$X = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$所以根据超平面方程可以解为$X^Tn + b = 0\\ \begin{bmatrix} x_1 x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ \end{bmatrix} + 4 = 0\\ x_1 + 3x_2 + 4 = 0$所以正如你从解中看到的，超平面是一条直线的方程。

2. 子空间：
超平面通常不是子空间。然而，如果我们有形式的超平面，

X ^T n =0

也就是说，如果平面通过原点，那么超平面也成为子空间。

3.半空间：
考虑下面给出的这个二维图片。

所以，这里我们在 X ₁和 X _{2 中}有一个二维空间，正如我们之前讨论过的，二维方程将是一条线，它是一个超平面。所以，这条线的方程写为

X ^T n + b =0

所以，对于这两个维度，我们可以像之前讨论的那样写这一行

X ₁ n ₁ + X ₂ n ₂ + b = 0

从上图中可以看出，整个二维空间被分成了两个空间；一个在这条线的这一侧(+ve 平面的一半)，另一个在这条线的这一侧(-ve 平面的一半)。现在，这两个空间称为半空间。

例子：

Let’s consider the same example that we have taken in hyperplane case. So by solving, we got the equation as 

x₁ + 3x₂ + 4 = 0

There may arise 3 cases. Let’s discuss each case with an example.

Case 1:

x₁ + 3x₂ + 4 = 0 : On the line

Let consider two points (-1,-1). When we put this value on the equation of line we got 0. So we can say that this point is on the hyperplane of the line. 

Case 2: 
Similarly, 

x₁ + 3x₂ + 4 > 0 : Positive half-space

Consider two points (1,-1). When we put this value on the equation of line we got 2 which is greater than 0. So we can say that this point is on the positive half space. 
Case 3: 

x₁ + 3x₂ + 4 < 0 : Negative half-space

Consider two points (1,-2). When we put this value on the equation of line we got -1 which is less than 0. So we can say that this point is on the negative half-space.