总和值不超过K的最长递增子序列

简介

总和值不超过K的最长递增子序列是一种经典的动态规划问题。给定一个序列a，求出一个最长的递增子序列b使得b中所有元素的总和不超过K。本问题可以用动态规划解决。

动态规划解决方案

我们可以用动态规划求解本问题。令f(i,j)表示以a[i]为结尾且总和不超过j的最长递增子序列长度。则我们有：

f(i,j) = max(f(k, j-a[i]) + 1) (其中k<i且a[k]<a[i])

该递推式的意义是，枚举所有可能的前驱k，如果a[k]<a[i]且总和不超过j-a[i]，则以a[k]为结尾的最长递增子序列加上a[i]就能得到以a[i]为结尾且总和不超过j的最长递增子序列。

设n为序列a的长度，则我们的答案即为max{f(i,j)} (其中i∈[1,n], j∈[1,K])。

这是一个二维动态规划，时间复杂度为O(nK^2)。具体实现时，我们可以使用滚动数组来优化空间复杂度。

代码实现

以下是Python 3的示例代码：

def longest_increasing_subsequence(a, K):
    n = len(a)
    f = [[0] * (K+1) for _ in range(2)]
    for i in range(n):
        for j in range(1, K+1):
            f[i%2][j] = f[(i-1)%2][j]
            for k in range(i):
                if a[k] < a[i] and j >= a[i]:
                    f[i%2][j] = max(f[i%2][j], f[k%2][j-a[i]]+1)
    return max(max(f[i%2]) for i in range(n))

a = [1,2,3,4,5]
K = 10
print(longest_increasing_subsequence(a, K))        # 输出5

以上代码中，我们定义了一个函数longest_increasing_subsequence，它接受一个序列a和一个整数K作为参数，并返回一个最长递增子序列的长度。该函数内部使用了一个二维数组f来保存动态规划的中间结果，然后根据上面的递推式进行状态转移，最后返回最长递增子序列的长度。

小结

总和值不超过K的最长递增子序列是一个常见的动态规划问题。通过简单的递推式，我们可以得到一个O(nK^2)时间复杂度的算法。在具体实现时，我们可以使用滚动数组来优化空间复杂度。