最长递增子序列的Python程序介绍

最长递增子序列是一种经典的动态规划问题，求解一个给定序列的最长递增子序列长度。在算法课程中，它通常是第一个涉及到动态规划算法的问题。

动态规划思路

动态规划是一种优化思想，基于子问题重叠的性质，将大问题划分为若干个小问题，并依次求解，最后合并求解结果。在最长递增子序列问题中，我们可以将问题化为更小的问题：求一个序列的最长递增子序列长度，等价于求一个更小的序列的最长递增子序列长度，这个更小的序列是从原序列中删去一个元素而得到的。

由于这个子问题的重叠性，我们可以使用动态规划的思想。具体地，我们可以定义一个数组L，其中L[i]表示以原序列中第i个元素结尾的最长递增子序列长度。那么，对于每一个i，L[i]都只跟比它小的j位置有关。因此，我们可以依次计算出L[1], L[2], ..., L[n]的值，最后得到最终答案。

动态规划的时间复杂度为O(n^2)，但是时间复杂度可以进一步优化到O(nlogn)，可以通过二分查找的方法实现，这个可以参考其他的资料。

Python程序实现

def lengthOfLIS(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    L = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                L[i] = max(L[i], L[j] + 1)
    return max(L)

上述程序实现了动态规划的思路，其输入一个整数数组nums，返回该数组的最长递增子序列长度。程序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

总结

最长递增子序列是一个常见且经典的问题，通过动态规划解决可以提高程序的效率。在实现动态规划的过程中，空间复杂度也是需要考虑的因素之一。在决定使用动态规划算法之前，我们需要先了解问题是否适合用动态规划解决。