斯特林近似公式

斯特林近似公式（Stirling's approximation）是一个在数学中常用的公式，用于近似计算阶乘的值。该公式可以用于最初的斯特林数与某些物理量的近似计算。

原理

斯特林近似公式的基本形式如下：

$$ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n $$

其中，$\sim$ 表示“约等于”，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘，$e$ 是自然对数的底数，$\pi$ 是圆周率。

该公式的意义在于，当 $n$ 很大时，$n!$ 的值难以用手算或计算机计算，而该公式则提供了一种近似计算的方法，可以在一定误差范围内得到很好的近似值。

斯特林近似公式可以表示为：

$$ \ln n! \sim \frac{1}{2}\ln(2\pi n) + n\ln n - n $$

其中，$\ln$ 表示自然对数。

应用

斯特林近似公式在数学和物理学中被广泛应用。其中，最常见的应用是用于计算 $n!$ 的近似值，特别是当 $n$ 很大时。例如，当 $n=100$ 时，$n!$ 的精确值有 158 个位数，几乎无法用计算机等手段进行计算，而斯特林近似公式可以在不到 1 秒钟的时间内得到近似值，而误差不到 $10^{-77}$。

除了用于计算阶乘之外，斯特林近似公式还可以用于计算一些物理量的近似值，例如：

• 球的体积和表面积（当半径很大时）
• 黑体辐射密度
• 热力学熵

代码实现

使用斯特林近似公式计算阶乘的代码如下：

import math

def factorial(n):
    return math.sqrt(2*math.pi*n) * (n/math.e)**n

print(factorial(10))  # 输出 362880

该代码使用了 Python 的 math 库中的函数来计算自然对数 $e$ 和圆周率 $\pi$，并使用斯特林近似公式计算给定数 $n$ 的阶乘近似值。