斯特林插值公式程序

斯特林插值公式是一种多项式插值法，可以用于在已知数据点的情况下求出一个连续函数的值。它的优点在于用较少的数据点构造出的多项式可以近似连续函数，并且可以通过递推计算快速求解。

程序实现

def stirling_interpolation(x, xi, fi):
    """
    使用斯特林插值公式计算给定点x的函数值
    :param x: 给定点x
    :param xi: 已知数据点的x坐标
    :param fi: 已知数据点的函数值
    :return: x的函数值
    """
    n = len(xi)
    if n < 2:
        return None

    # 初始化差商表
    d = [[fi[i]] for i in range(n)]

    # 计算差商
    for j in range(1, n):
        for i in range(n - j):
            d[i].append((d[i + 1][j - 1] - d[i][j - 1]) / (xi[i + j] - xi[i]))

    # 计算插值多项式
    p = d[0][0]
    for j in range(1, n):
        s = 1
        for i in range(j):
            s *= (x - xi[i])
        p += d[0][j] * s

    return p

程序解释

该程序使用了递推的方法计算差商表，并利用差商表计算斯特林插值多项式。给定数据点的x坐标和函数值，可以使用该程序计算出任意点的函数值。

stirling_interpolation(x, xi, fi)

• x: 待求点的x坐标
• xi: 已知数据点的x坐标，为一个长度为n的列表
• fi: 已知数据点的函数值，为一个长度为n的列表
• 返回值：x点的函数值

差商表计算

差商表是一种二维表格，由差商构成。差商是一种递归定义的函数，其值取决于已知的数据点。对于任意下标i和j，差商表的元素d[i][j]定义为fi,fi+1,...fi+j对应的差商。其中fi对应的横坐标为xi。

插值多项式计算

斯特林插值多项式表示为:

P_n(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0)^1 + f[x0,x1,x2](x-x0)^2 + ... + f[x0,x1,..,xn](x-x0)^n

其中f[x0,x1,...,xi]表示已知数据点中xi对应的j阶差商，j=i-1。根据差商的性质，计算差商和插值多项式的复杂度均为O(n^2)。

使用示例

xi = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]
fi = [0.0498, 0.1353, 0.3679, 1, 0.3679, 0.1353, 0.0498]
x = 0.5
print(stirling_interpolation(x, xi, fi)) # 0.9057

总结

斯特林插值公式是一种多项式插值法，可以用于在已知数据点的情况下求出一个连续函数的值。该程序使用了递推的方法计算差商表，并利用插值多项式计算任意点的函数值。斯特林插值公式的优点在于用较少的数据点构造出的多项式可以近似连续函数，并且可以通过递推计算快速求解。