📅  最后修改于: 2023-12-03 15:25:36.498000             🧑  作者: Mango
在一些特定的场景下,我们需要寻找一个数组中第 $K$ 小的元素,同时限制空间复杂度为常量级别。如果数组可以修改,我们可以使用一些排序算法,比如堆排序,来解决这个问题。但是当数组无法修改时,我们需要寻找更为巧妙的算法来解决这个问题。
一个经典的算法就是选择算法(Selection Algorithm),这个算法的基本思路是通过不断地分治思想,每次找到数组中的一个元素并判断其是否为第 $K$ 小的元素,然后再缩小搜索范围。
选择算法的具体实现如下:
首先将数组按固定大小(如5)分成若干个子组,并求出每个子组的中位数。将所有子组的中位数构成一个新数组 $M$。然后对 $M$ 数组递归执行选择算法,直到找到 $M$ 数组的中位数。
接下来,我们将原数组中所有小于 $M$ 数组中的中位数的数都放到一个新数组 $L$ 中,将所有大于 $M$ 数组中的中位数的数都放到一个新数组 $R$ 中,将所有等于 $M$ 数组中的中位数的数都放到一个数 $M_1$ 中。如果 $K$ 小于等于 $L$ 数组的长度,则在 $L$ 数组中递归执行选择算法;如果 $K$ 等于 $L$ 数组的长度加上 $M_1$ 的数量,则返回 $M_1$;否则在 $R$ 数组中递归执行选择算法。
整个过程的时间复杂度为 $O(n)$,空间复杂度为常量级别。
代码实现(Python):
def select(arr, k):
if len(arr) <= 5:
return sorted(arr)[k-1]
groups = [arr[i:i+5] for i in range(0, len(arr), 5)]
medians = [sorted(group)[len(group) // 2] for group in groups]
pivot = select(medians, len(medians) // 2 + 1)
left = [x for x in arr if x < pivot]
right = [x for x in arr if x > pivot]
mid = [x for x in arr if x == pivot]
if k <= len(left):
return select(left, k)
elif k <= len(left) + len(mid):
return mid[0]
else:
return select(right, k - len(left) - len(mid))
注:上述代码中使用了 Python 中的列表推导式,如果您不熟悉这个语言特性,请先学习一下 Python 基础知识。