阿尔金序列介绍

阿尔金序列（Alcuin sequence），也被称为阿尔库因序列，是一类递增整数序列。它是通过下列方法构造的：从1开始，将每个新数字插入先前序列的末尾，并要求新数字和旧数字之间的最大公因数为1。这个序列是以8世纪英国学者阿尔库因之名命名的，他是查理曼大帝的御用建筑师与学者。

构造方法

阿尔金序列是通过以下递推关系构造的：

$$a_1=1$$

$$a_n=a_{n-1}+gcd(n, a_{n-1})$$

其中，$gcd(n,a_{n-1})$ 是 $n$ 和 $a_{n-1}$ 的最大公因数。

可以看出，$a_n$ 的增长率非常缓慢，但每一项都与前面的项有关，因此无法在常数时间内计算出 $a_n$。

特性

1. 阿尔金序列是无限递增的整数序列。由于每个 $a_n$ 是奇数，因此这是一个奇数序列。

2. 每个 $a_n$ 都是所有先前项的和，因此对于任何 $n > 1$，$a_n$ 都可以写成两个或更多位数的 $a_k$ 的和，其中 $k$ 始终小于 $n$。

3. 阿尔金序列的增长速度非常慢，每一项增加的量比前一项都要小很多。这样做的好处是，从计算的角度来看，这个序列非常不可预测。例如，前1000个数字看起来与随机数一样。

特殊数字

一些数字出现在阿尔金序列中的次数比其他数字少得多。特别是，$2$ 和 $3$ 出现的次数比其他数字少得多，因为如果 $a_n$ 是偶数，则 $a_{n+1}$ 就不可能是奇数了，因此 $gcd(n,a_{n-1})$ 必须相应地选择偶数值。同样的道理，如果 $a_n$ 是一个 $3$ 的倍数，则 $gcd(n,a_{n-1})$ 必须选择 $3$，并且 $a_{n+1}$ 也将是 $3$ 的倍数。因此，$2$ 和 $3$ 出现的次数最少。

应用

阿尔金序列在密码学中有应用。它们被用作乘法器，因为它们能够生成一组可以生成大量互不相同随机数的公钥和私钥。它们也用于随机数生成器中，因为阿尔金序列看起来像随机序列。

def gcd(a, b):
    """求两个数的最大公因数"""
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a


def alcuin_sequence(n: int) -> List[int]:
    """生成阿尔金序列"""
    seq = [1]
    for i in range(2, n+1):
        seq.append(seq[-1] + gcd(i, seq[-1]))
    return seq

以上代码是一个 Python 实现，可以生成前 $n$ 个阿尔金序列的值。