算术序列–序列和序列| 11年级数学

序列是对象的一个枚举集合，在其中允许重复，而顺序事项则形成了一种模式，通过这种模式我们可以识别整个序列。我们可以概括整个序列，称为序列。

例1。偶数序列具有差异4。

解决方案：

2, 6, 10, 14,……………..a_n. 

Here in the above example the first term of sequence is a₁=2. And last term is a_n.

示例2。数字的排列，例如1、1、2、3、5、8，……没有可见的模式，但是序列由给出的递归关系生成。

解决方案：

a₁=1, a₂=1, a₃=2

a₃=a1+a2.

a_n=a_n-2+a_n-1  Where n>2

This is called Fibonacci sequence.

例3.一个数字排列，例如2、8、14、20，…具有可见的图案，其顺序由该关系生成。

解决方案：

a₁=2, a₂=6, a₃=14. Common difference between element is constant and is equal to d =a₂-a_{1  or} take any two adjacent numbers .

So sequence becomes a_n=a₁+(n-1)*d. 

系列：一系列可以高度概括为序列中的所有条款的总和。让一个序列被给定为A _{1，A 2，A 3，。} 。 。 。 。 。 ， _n。然后将该表达式称为与给定序列关联的级数。有限级或无级级的依赖关系取决于序列的性质是有限级还是无限级。级数用∑(sigma)表示。因此，系列a1 + a2 + a3 + an = ∑ ⁿ _{k = 1} a _k。

算术序列

在算术序列中，一项与下一项之间的绝对差是恒定的。

解释：

序列a ₁ ，a ₂ ，…a _n。被称为算术序列或算术级数如果_{N + 1} -一个_N = d其中d是常数。这是共同的区别。

让我们用第一项A和共同差D进行算术级数。

{A，A + D，A + 2D，A + 3D ……。}

AP的第n^个通用项由_n = a +(n-1)* d给出。

其中，a是AP的第一项，d是公共差，n是项数。

显式公式

Writing explicit formulas 

Let’s take a sequence 6, 16, 26, 36 …76.

The first term of the sequence is 6 and common difference is 10.

We can get any term in the sequence by taking the first term 6 and common difference is 10.

第n个项的计算。

1.	6	6+0.10=6
2.	6+10	6+1.10=16
3.	6+10+10	6+2.10=20
4.	6+10+10+10	6+3.10=36
5.	6+10+10+10+10	6+4.10=46
6.	6+10+10+10+10+10	6+5.10=56
7.	6+10+10+10+10+10+10	6+6.10=66

The nth term can be find out easily. The first terms is 6, and we get the difference is 10 in each step.

Above statement can be generalized as 6+(n-1)*d. 

In general, this is the standard explicit formula of an arithmetic sequence whose first term is, A, end and common difference is D. 

A_n = A+(n-1)*D.

算术级数的重要属性

• 如果将常数添加到AP的每个项中，则所得序列也是AP
• 如果将一个常数减去AP的每个项，则所得序列也是AP
• 如果AP的每一项都乘以一个常数。然后所得的序列也是AP
• 如果将AP的每个项除以非零常数，则结果序列也是AP

算术级数之和

让我们以a，a + d，a + 2d，a + 3d，….. a +(n-1)* d的顺序给出。

S_n = (n/2)(a + l) 

where,

a is the first term

l is the last term of the series and 

n is the number of terms in the series

Replacing the last term l by the n^th term in equation 3 we get,

n^th term = a + (n – 1)d

S_n = (n/2)(a + a + (n – 1)d)

S_n = (n/2)(2a + (n – 1) x d)

例1。按照以下定义的每个顺序写前三个术语：

(i) _n = 5n + 2(n-1)

解决方案 ：

Solve: (i) put n=1, we get a₁=5.1 + 2(1-1) = 5+ 0 =5

Put n=2, we get a₂=5.2+2(2-1)  =10+2 =12 

Put n=3, we get a₃=5.3 + 2(3-1) =15 + 4 =19

So first three terms are 5,12, 19.

(ii)A _n = 2n +4(n-2)

解决方案 ：

 Put n=1, we get a₁=2.1+4(1-2) =2-4 = -2

Put n=2, we get a₂ = 2.2+4(2-2) =4+ 0 =4

Put n=3,we get a₃= 2.3 + 4(3-2) =6+4 =10

So the first three terms are -2, 4, 10.

例子2。找到给定表达式的^{第20个词。}

解决方案 ：

A_n=(n-1)(2-n)(3+n)

Solve: put n=20 in given  expression,

a₂₀=(20-1)(2-20)(20+3) = 19*-18·23 = -7886.

NOTE: if question asked find nth term of arithmetic sequence then consider the sequence to be a_n=a+(n-1)*d.

例3：求出所有自然数之和，介于100和1000之间(含100和1000)，是5的倍数。

解决方案 ：

Solve: first term to be 100 and last terms is 1000 and common difference is 5.

So our formula is S_n=(n/2)[2a+(n-1)*d] .

We need to find  the number of terms , so number of terms is given by (1000-100)/5 = 900/5 =180.

S₁₈₀=(180/2)[2·100 +(180-1)*5].

S₁₈₀=90*[200+179·5]

S₁₈₀=90·1095 = 98,550.