求所有子序列之和

在求解一个序列的问题中，有时我们需要求出这个序列所有子序列的和。那么如何快速地求解呢？下面我们就来介绍几种常见的方法。

方法一：暴力枚举

暴力枚举是最简单直接的方法。我们可以通过两层循环枚举所有子序列，计算它们的和。具体实现代码如下：

def get_all_subseq_sum(arr):
    n = len(arr)
    sum_list = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i-1, -1, -1):
            sum_list[i] += arr[j]
    return sum_list[1:]

该函数的时间复杂度为 $O(n^2)$，不适用于长度较长的序列。但对于一些规模较小的问题，暴力枚举还是很有用的。

方法二：分治算法

分治算法是一种常见的高效算法。我们可以将原序列分成两部分，分别求出它们的所有子序列的和。然后再将这两部分的子序列加起来，就可以得到原序列所有子序列的和。具体实现代码如下：

def get_all_subseq_sum(arr):
    
    def get_sum(start, end):
        if start == end:
            return [0]
        mid = (start + end) // 2
        left_sums = get_sum(start, mid)
        right_sums = get_sum(mid+1, end)
        res = [0] * (len(left_sums) + len(right_sums))
        for i, left_sum in enumerate(left_sums):
            for j, right_sum in enumerate(right_sums):
                res[i+j] += (left_sum + right_sum)
        return res
    
    return get_sum(0, len(arr)-1)

该函数的时间复杂度为 $O(n^2logn)$，虽然比暴力枚举复杂度高，但对于长度较长的序列，分治算法效率还是比较高的。

方法三：动态规划

动态规划是一种常见的优化算法。我们可以用一个数组来存储当前所有子序列的和，每次循环将当前元素和前面的子序列和相加，就可以得到新的所有子序列和。具体实现代码如下：

def get_all_subseq_sum(arr):
    n = len(arr)
    sum_list = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        sum_list[i] = sum_list[i-1] + arr[i-1]
    res = []
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n+1):
            res.append(sum_list[j] - sum_list[i])
    return res

该函数的时间复杂度为 $O(n^2)$，但相比于暴力枚举，动态规划的效率更高。

到此，我们介绍了三种常见的方法，可以求解一个序列的所有子序列之和。在实际应用中，根据问题的规模和要求的时间复杂度，我们可以选择适合的方法来解决问题。