将按位与的对数作为偶数进行计数

在计算机编程中，经常需要对二进制数进行处理。其中，按位与（AND）是一种常见的操作，它会将两个二进制数的每一位都进行 AND 运算，并返回结果。在这个操作中，如果两个数的同一位都为 1，那么结果的这一位也为 1，否则为 0。

我们现在想要使用按位与的对数来进行一种特殊的计数，即将按位与的结果中 1 的个数视为偶数，那么如何统计满足条件的数的个数呢？

解决这个问题的关键在于，对于每个二进制数，其按位与的结果中 1 的个数是一个确定的值。具体来说，设一个二进制数为 x，其二进制表示中 1 的个数为 count(x)，那么 x 与任何一个比它小且二进制表示中有 k（0 <= k < count(x)）个 1 的数进行按位与得到的结果中 1 的个数都是奇数。

因此，我们只需要枚举 x 的二进制表示中 1 的个数 count(x)，然后对于任何比 x 小且二进制表示中有 k（0 <= k < count(x)）个 1 的数，都将它们与 x 进行按位与的结果中 1 的个数加 1，最后得到的结果除以 2 就是符合条件的二进制数的个数。

下面是一个用 Python 实现的例子：

def count_numbers(n):
    cnt = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        cnt[i] = cnt[i & (i - 1)] + 1
    ans = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(cnt[i]):
            ans += cnt[i & ((1 << j) - 1) | (1 << j)]
    return ans // 2

在这个例子中，我们先用 cnt 数组保存每个二进制数的按位与结果中 1 的个数。具体来说，对于一个二进制数 x，它与 x-1 进行按位与，相当于将 x 的二进制表示中最后一个 1 及其后面的所有位都变成了 0，因此 cnt[x] 可以根据 cnt[x & (x-1)] 得到。

然后，在枚举 count(x) 的过程中，我们对于任何比 x 小且二进制表示中有 k（0 <= k < count(x)）个 1 的数 i，都计算 i 与 x 进行按位与的结果中 1 的个数，即 cnt[i & ((1 << j) - 1) | (1 << j)]，其中 j 是 [0, count(i)-1] 的一个整数。

最后，由于每个合法的二进制数会被计算两次，因此需要将最终的结果除以 2。

这个方法的时间复杂度是 O(n log n)。由于每个二进制数的二进制表示中最多有 log n 个 1，因此计算 cnt 数组的总时间复杂度是 O(n log n)，而统计符合条件的数的个数的总时间复杂度也是 O(n log n)。