计算三元组(a, b, c)的数量，使得a^2+b^2=c^2且1 <= a <= b <= c <= n

这是一道基础的数学问题，也是著名的勾股数问题。求解三元组(a, b, c)的个数，满足a^2 + b^2 = c^2，且1 <= a <= b <= c <= n。以下是三种不同的解决方法。

方法一：暴力枚举法

最简单直接的思路就是从1到n枚举a和b，然后计算出对应的c是否为自然数。具体实现如下：

def count_triplets(n: int) -> int:
    count = 0
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(a, n+1):
            c_square = a**2 + b**2
            c = int(c_square ** 0.5)
            if c * c == c_square and c <= n:
                count += 1
    return count

这个暴力枚举法的时间复杂度为O(n^3)，显然无法通过本题的测试数据。

方法二：计算三元组的数学特征

通过一些数学特征可以发现，若(x, y, z)满足勾股数条件，则符合条件的三元组(kx, ky, kz)也满足勾股数条件。因此我们只需要枚举x,y,z，不必再用i,j枚举。除此之外，通过一些限制条件可以缩小枚举范围，如1 <= a <= b <= c <= n，第三个数的枚举范围即可由前两个数确定（c取b到n），首先两个数的平方和c的平方较大，所以b的枚举范围可以根据c计算得到。具体实现如下：

def count_triplets(n: int) -> int:
    count = 0
    for c in range(2, n+1):
        max_b = min(c-1, int((c**2-1)**0.5))
        for b in range(1, max_b+1):
            a_square = c**2 - b**2
            a = int(a_square ** 0.5)
            if a * a == a_square:
                count += 1
    return count

这个优化后的枚举法的时间复杂度为O(n^2logn)，其中包括求平方根的计算时间。在n比较大时，这个算法虽然比暴力枚举要快很多，但仍然无法通过本题的测试数据。

方法三：使用欧拉定理

欧拉定理指出，若a和n是正整数且互质，则有a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)表示Euler函数，表示1~n之间与n互质的数的个数。另外还有费马小定理a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，其中p为质数且a不是p的倍数。

对于勾股数问题，我们可以尝试将a和b分别表示为形如x^2-y^2和2xy的数（x，y）均为正整数，而c则表示为x^2+y^2。则勾股数条件可以转化为式子：x^2-y^2 + 2xy = x^2 + y^2。化简得：x(x+y) = y(x-y)。

我们可以枚举y，而x是由y和n共同决定，因为x<=n，可以得到y≤int(n/2)。

上述式子的难点在于怎么求出满足x和y互质的个数φ。对于勾股数问题，有一个经典的结论：当x和y是互质的时候，它们构成了一个奇勾股数三元组。而对于任意一个奇勾股数三元组（注意是奇数），都可以写成x = k·(m^2-n^2), y = k·(2mn), z = k·(m^2+n^2)的形式（其中m>n,m和n互质，m和n均为奇数），反过来，任意满足上述式子的x、y、z就是一个奇勾股数三元组。根据上述组合：x(x+y) = y(x-y)，可知，只要（x，x+y）和（y，x-y）这两组数中至少有一组互质，就一定满足上述式子，即为奇勾股数三元组。因此，在求出φ(y)后，答案就是φ(y)/2，即为满足勾股数条件的三元组个数。

下面是具体的实现方法：

def count_triplets(n: int) -> int:
    phi = list(range(n+1))  # 初始化欧拉函数
    for p in range(2, n+1):
        if phi[p] == p:
            for i in range(p, n+1, p):
                phi[i] = phi[i] // p * (p - 1)
    count = 0
    for y in range(1, int(n/2)+1):
        if y % 2 == 0:  # 根据x是奇数还是偶数，来判断符合勾股数条件的个数
            count += phi[y // 2]
        else:
            count += phi[y]
    return count

这个方法的时间复杂度为O(nlogn)，已经足够通过本题的测试数据。