给定数组中的索引三元组计数问题

给定一个数组，计算其中满足条件 $i < j < k$ 且 $a_j < a_k < a_i$ 的索引三元组数量。

解法

这个问题可以用类似于归并排序的分治算法来求解。

具体而言，我们将原始数组分成大小为 $n/2$ 的两个子数组，递归地解决每个子问题，分别得到左半部分的有效三元组数量 $T_L$ 和右半部分的有效三元组数量 $T_R$。然后，我们要计算既包含左半部分的元素，又包含右半部分的元素的有效三元组数量 $T_{LR}$。

对于 $T_{LR}$ 的计算，我们将左半部分的元素按照它们的值从小到大排序，将右半部分元素也按照它们的值从小到大排序。然后，我们用两个指针，一个指向左半部分中的最小元素 $l$，另一个指向右半部分中的最小元素 $r$。在这样的前提下，我们从左到右遍历左半部分的元素，称当前元素为 $mid$。每当我们遍历到一个 $mid$ 时，我们移动指针 $r$ 使其指向的元素 $a_r$ 满足 $a_r < a_mid$，然后，我们再次移动指针 $r$ 直到它指向下一个比 $a_mid$ 大的元素。在这个过程中，对于每一个 $r$，$T_{LR}$ 的贡献就是 $r$ 右侧的元素数量。

在计算完 $T_{LR}$ 后，我们就可以得到最终的答案：$T_L + T_R + T_{LR}$。

代码

def count_triplets(arr):
    n = len(arr)
    if n < 3:
        return 0
    
    mid = n // 2
    left = arr[:mid]
    right = arr[mid:]
    
    # recursively solve subproblems
    T_L = count_triplets(left)
    T_R = count_triplets(right)
    
    # merge and count T_LR
    T_LR = 0
    i = j = 0
    for k in range(n):
        if j >= len(right) or (i < len(left) and left[i] <= right[j]):
            arr[k] = left[i]
            i += 1
        else:
            arr[k] = right[j]
            j += 1
            while j < len(right) and right[j] < arr[i]:
                j += 1
            T_LR += len(right) - j
    
    return T_L + T_R + T_LR