使用Pell方程的第N个斐波那契数

斐波那契数列是一个经典的数学问题，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。其中，Pell方程是一种计算斐波那契数列的方法。本文将介绍如何使用Pell方程求出斐波那契数列的第N个数。

什么是Pell方程？

Pell方程是指形如 $x^2 - Ny^2 = 1$ 的二元二次方程，其中N为正整数。Pell方程的求解可以归结为一个连分数的求值问题。在某些特殊情况下，Pell方程的解恰好是斐波那契数列的一项值。

如何使用Pell方程求解斐波那契数列？

斐波那契数列是一串递归定义的数列，其中每个数是前面两个数的和。最常见的定义是 $F_0 = 0, F_1 = 1$，然后 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$。福尔马定理告诉我们，任何正整数都可以写成若干个斐波那契数的和。这就是斐波那契数列的威力所在。

假设我们要求解斐波那契数列的第N个数 $F_n$，那么我们可以使用Pell方程求出 $\sqrt{5}$ 的第N个连分数。具体过程如下：

1. 定义 $a_0 = \lfloor \sqrt{5} \rfloor$ 和 $p_0 = q_{-1} = 0, p_1 = q_0 = 1$。
2. 对于 $n \geq 1$，定义 $a_n = \lfloor \frac{p_{n-1} + \lfloor \sqrt{5} \rfloor q_{n-1}}{q_{n-1}} \rfloor$ 和 $p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2}, q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}$。
3. 当 $n=N$ 时，$q_N$ 即为 $\sqrt{5}$ 的第N个连分数的分母。
4. 设 $x = p_N, y=q_N$，则 $x^2 - 5y^2 = (-1)^N$。注意到当N是奇数时，右侧为负；当N是偶数时，右侧为正。

根据欧拉公式，斐波那契数列的第N个数可以通过 $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n)$ 来计算。因此，

当N是奇数时，$F_n = \frac{x}{2}$；

当N是偶数时，$F_n = \frac{y}{2}$。

代码示例

下面是使用Python实现的代码示例：

import math

def fib(N):
    a = math.floor(math.sqrt(5))
    p_0, q_0, p_1, q_1 = 0, 1, 1, a

    for i in range(2, N+1):
        a_i = math.floor((p_1 + a*q_1)/q_1)
        p_2, q_2 = a_i*p_1 + p_0, a_i*q_1 + q_0
        p_0, q_0, p_1, q_1 = p_1, q_1, p_2, q_2

    if N % 2 == 1:
        x, y = p_1, q_1
    else:
        x, y = p_0, q_0

    return x // 2 if N % 2 == 1 else y // 2

这段代码定义了一个 fib 函数，接受一个正整数N作为参数，返回斐波那契数列的第N个数。在函数内部，我们实现了Pell方程的求解过程，并使用奇偶性取出相应的解。由于求解连分数需要进行浮点数计算，存在精度误差，因此一般情况下只能求解比较小的N。