计算其乘积包含单个不同素数的对

本程序旨在计算一个正整数列表中，其乘积包含单个不同素数的对的个数。

算法简介

本程序通过以下算法来计算：

1. 首先将所有输入数字质因数分解，得到一个二维数组；
2. 遍历所有质因数，记录每个质因数出现的次数；
3. 对于每个质因数，计算其在数组中的可能出现情况：出现1次、出现2次；
4. 计算结果为每个质因数的出现情况的乘积之和。

代码实现

本程序使用 Python 语言实现，代码如下：

from collections import Counter
from typing import List


def factorize(num: int) -> List[int]:
    """
    计算一个正整数的质因数分解结果
    """
    res = []
    i = 2
    while i ** 2 <= num:
        if num % i:
            i += 1
        else:
            num //= i
            res.append(i)
    if num > 1:
        res.append(num)
    return res


def count_pairs(arr: List[int]) -> int:
    """
    计算一个整数列表中，其乘积包含单个不同素数的对的个数
    """
    primes = Counter()
    for num in arr:
        factors = factorize(num)
        for factor in factors:
            primes[factor] += 1
    
    count = 0
    for p in primes:
        count += primes[p] * (primes[p] - 1) // 2
    
    return count

使用示例

例如，给定列表 [1, 3, 7, 15, 35]，其质因数分解结果为：

[[], [3], [7], [3, 5], [5, 7]]

统计得到出现的所有质因数及其次数为：

Counter({3: 2, 5: 2, 7: 2})

因此，可以计算得到其乘积包含单个不同素数的对的个数为 3（其中有 3 对）。