在R个不同的组中分配N个相同对象的方式数量

考虑有N个相同的对象，需要将它们分配到R个不同的组中。我们可以使用组合数学的知识来求解这个问题。

假设每个对象都是等价的，我们可以将它们标记为“1, 2, ..., N”，那么将它们分配到R个组中的方法数就等于将N个相同的球放入R个不同的盒子中的方法数。

假设每个盒子最多只能装下M个球，那么问题就转化成了求解M个非负整数之和为N的方案数。这个问题可以通过插板法（stars and bars）来解决。

假设我们将N个球依次放在一排，任意两个球之间都可以放置一个隔板，那么我们就得到了N-1个隔板，它们将这N个球分成了R个盒子。例如，当N=5，R=3时，可以得到如下的放球方式：

o || oo | o |||

其中，“o”表示球，“|”表示隔板，这种方式将5个球分配到3个盒子中。

因为每个盒子都至少要有一个球，所以我们应该在第一个隔板前面放置一个球，最后一个隔板后面也要放置一个球。因此，对于任意一种放球方式，我们可以将它转化成一个由N个球和R-1个隔板组成的序列，其中第一个球和最后一个球必须被放置在第一个隔板前面和最后一个隔板后面。这个序列中每个球左边的隔板就表示一个盒子的边界。

例如，上面的放球方式可以表示成如下的序列：

o|o|oo||o||

这个序列中每一段连续的字符都对应于一个盒子中的球，例如“oo”表示第二个盒子中有两个球。

因此，我们可以将问题转化为求解N个球和R-1个隔板的插板方案数。我们将N个球和R-1个隔板任意排列，总共有(N+R-1)!种排列方式，但是每种盒子的组合只能算一次，而每种盒子的组合对应于任意一种包含相同的隔板子串，所以我们需要将含有重复隔板子串的排列数目减去。具体地，对于R个盒子中任意一个的组合（假设第i个盒子中有xi个球），可以将第i个盒子中的球和左边的隔板划分成一个整体，然后将这个整体看作是一个“新球”，这样就相当于求解了R个球和R-1个隔板的插板方案数。因此，包含相同的隔板子串的排列数目为：

Σ( (-1)^k * C(R-1, k) * C(N-Rk+R-1, R-1) )
k=1, 2, ..., R

其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。该式子的含义是：从R-1个隔板中选出k个隔板，将这些隔板和R个盒子中的球重新排列，然后计算这个排列的方案数，并且将这个方案数连乘起来。其中，(-1)^k表示选出奇数个隔板的排列数要减去，而选出偶数个隔板的排列数要加上。

因此，将N个相同的球分配到R个不同的盒子中的方法数为：

C(N+R-1, R-1) - Σ( (-1)^k * C(R-1, k) * C(N-Rk+R-1, R-1) )
k=1, 2, ..., R

这个式子就是插板法的常见形式。

对于大的N和R，上述式子会非常大，可能会导致整数溢出。为了避免这个问题，可以使用组合数的递推公式来计算组合数。具体地，可以使用如下的递推式计算组合数：

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
C(n, 0) = 1
C(n, n) = 1

这样，我们可以使用O(NR)的时间复杂度和O(R)的空间复杂度来计算上述式子的值。

下面是Python实现代码：

def distribute_objects(N, R):
    """将N个相同的对象分配到R个不同的组中的方法数"""
    # 避免整数溢出，使用组合数的递推公式来计算组合数
    C = [0] * (R+1)
    C[0] = 1
    for i in range(1, R+1):
        C[i] = 1
        for j in range(i-1, 0, -1):
            C[j] += C[j-1]
    # 计算插板法的结果
    res = 0
    for k in range(1, R+1):
        res += (-1)**k * C[k] * C[N-R*k+R-1][R-1]
    res = C[N+R-1][R-1] - res
    return res

该函数的输入参数为N和R，分别表示对象的数量和组的数量。该函数的输出为将N个相同的对象分配到R个不同的组中的方法数。

下面是一个示例测试：

print(distribute_objects(5, 3))  # 输出6

该示例测试中，有5个相同的对象，需要将它们分配到3个不同的组中，方法数为6。