不重复地分配所有球

很多编程问题都涉及一些排列组合的问题，其中一种就是不重复地分配所有物品。这种问题可以用计算机算法解决。本文将介绍如何用代码实现不重复地分配所有球。

问题描述

假设你有 $n$ 个球，编号分别为 $1$ 到 $n$。现在需要将这些球随机分配给 $m$ 个人（$m \leq n$），每个人至少分配一个球。请问有多少种不同的分配方案？

解决方案

方法一：递归

一种解决这个问题的方法是使用递归。具体步骤如下：

1. 对于第一个人，有 $n$ 种选择，随机地选择一种。
2. 对于第二个人，有 $n-1$ 种选择，但是必须排除已经被第一个人选过的球。
3. 对于后面的人，每个人有 $n-i+1$ 种选择，但是必须排除已经被前面的人选过的球。
4. 直到所有球都被分配完毕，记录一种分配方案。

具体的实现代码如下：

def assign_balls(n, m, assigned):
    if m == 0:  # 所有人都已分配完毕
        print(assigned)
        return
    for i in range(1, n-m+2):  # 依次考虑每个未分配的球
        assigned.append(i)
        assign_balls(n-i, m-1, assigned)
        assigned.pop()  # 回溯

这个函数接收三个参数：$n$ 表示剩余的球的数量，$m$ 表示还需要分配的人的数量，$assigned$ 表示已经分配的球的编号。递归的基本情况是所有人都已分配完毕。

方法二：动态规划

上面的递归方法可以很容易地优化成动态规划方法。具体的思路是，我们可以创建一个二维数组 $dp_{i,j}$，其中 $dp_{i,j}$ 表示有 $i$ 个球需要分配给 $j$ 个人的方案数。对于 $dp_{i,j}$，我们有两个选择：

1. 将第 $i$ 个球分配给一个还未分配满球的人。
2. 创建一个新的人，将第 $i$ 个球分配给他。

而这两个选择都可以通过 $dp_{i-1,j-1}$ 和 $dp_{i-1,j} \times j$ 计算得到。因此，递推公式为：

$$ dp_{i,j} = dp_{i-1,j-1} + dp_{i-1,j} \times j $$

具体的实现代码如下：

def assign_balls(n, m):
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][1] = 1
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(2, min(i, m)+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j] * j
    return dp[n][m]

这个函数的返回值是所有不同的分配方案的数量。

总结

对于不重复地分配所有球这个问题，我们介绍了两种解决方法：递归和动态规划。递归方法简单，但是时间复杂度比较高；动态规划方法时间复杂度低，但是需要额外的存储空间。在实际应用中，可以根据实际情况选择合适的方法。