笔分配问题

笔分配问题是指在一定数量的笔和人员中，如何分配这些笔才能让每个人都至少有一支笔的问题。这个问题可以被用于教学、组织管理、资源分配等方面。

解法

解法一：贪心算法

贪心算法是一种直觉性的算法，它根据某种优化策略，每一步都选择当前最优的解，最终得到全局最优解。在笔分配问题中，我们可以将每支笔都分配给最少使用过的人。这样做的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 $n$ 为人数。

def distribute_pens(num_pens, num_people):
    pens_per_person = [0]*num_people
    pen_count = 0
    # 将笔按照使用次数升序排列
    pens = sorted(range(num_pens), key=lambda x: pens_per_person[x])
    for pen in pens:
        # 遍历未满足条件的人员
        for i in range(num_people):
            if pens_per_person[i] < pen_count//num_people:
                # 给该人员分配笔
                pens_per_person[i] += 1
                pen_count += 1
                break
    return pens_per_person

解法二：网络流算法

笔分配问题也可以转化为流量分配问题，即将每支笔看作一个“流量单位”，将人员看作顾客，顾客需要接受流量单位。通过建立网络流图，可以应用最大流算法解决该问题。这种方法的时间复杂度为 $O(n^3)$。

from collections import defaultdict
 
class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.graph = defaultdict(list)
        self.V = vertices
 
    def add_edge(self, u, v, w):
        self.graph[u].append([v, w, len(self.graph[v])])
        self.graph[v].append([u, 0, len(self.graph[u]) - 1])
 
    def bfs(self, s, t, parent):
        visited = [False] * (self.V)
        queue = []
        queue.append(s)
        visited[s] = True
        while queue:
            u = queue.pop(0)
            for i in range(len(self.graph[u])):
                if visited[self.graph[u][i][0]] == False and self.graph[u][i][1] > 0:
                    queue.append(self.graph[u][i][0])
                    visited[self.graph[u][i][0]] = True
                    parent[self.graph[u][i][0]] = u, i
        return visited[t] == True
 
    def ford_fulkerson(self, source, sink):
        parent = [-1] * (self.V)
        max_flow = 0
        while self.bfs(source, sink, parent):
            path_flow = float("Inf")
            s = sink
            while s != source:
                p, i = parent[s]
                path_flow = min(path_flow, self.graph[p][i][1])
                s = p
            max_flow += path_flow
            v = sink
            while v != source:
                u, i = parent[v]
                self.graph[u][i][1] -= path_flow
                self.graph[v][self.graph[u][i][2]][1] += path_flow
                v = u
        return max_flow

def distribute_pens(num_pens, num_people):
    # 建立网络流图
    g = Graph(num_pens+num_people+2)
    incoming_pens = num_people
    source = 0
    target = num_pens+num_people+1
    # 源点连向所有笔
    for i in range(1, num_pens+1):
        g.add_edge(source, i, 1)
    # 每个笔连向多个人
    for i in range(1, num_pens+1):
        for j in range(1, num_people+1):
            g.add_edge(i, num_pens+j, 1)
    # 每个人连向汇点
    for i in range(num_pens+1, num_pens+num_people+1):
        g.add_edge(i, target, incoming_pens)
    # 求最大流
    max_flow = g.ford_fulkerson(source, target)
    # 解析结果
    pens_per_person = [0]*num_people
    for i in range(1, num_pens+1):
        for edge in g.graph[i]:
            if edge[1] == 0 and edge[0] > num_pens:
                pens_per_person[edge[0]-num_pens-1] += 1
    return pens_per_person

总结

在数量较少的情况下，贪心算法是解决笔分配问题的最佳选择；而网络流算法适用于较大规模的问题，能够获得最优解，但是时间复杂度较高。通过理解和掌握这些算法的实现原理，我们可以更好地解决各种实际问题。