求具有最大总和的子数组的大小

什么是子数组？

在数组中，子数组就是原数组的连续一段元素。例如，数组 [1,2,3,4,5] 中的子数组有 [1,2]、[3,4,5] 等。

什么是最大总和？

在一个由数值构成的数组中，找出一个连续的子数组，使得子数组中的元素之和最大，这个最大的和就是最大总和。

举个例子，对于数组 [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4]，它的具有最大总和的子数组为 [4,−1,2,1]，其总和为 6。

怎么找最大总和的子数组？

通常有两种方式来解决这个问题：

方式一：暴力搜索

枚举所有的连续子数组，并计算它们的总和，从中找出最大的。时间复杂度为 $O(n^2)$。

def maxSubArray(nums):
    n = len(nums)
    ans = -10000000
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            sum = 0
            for k in range(i, j + 1):
                sum += nums[k]
            ans = max(ans, sum)
    return ans

方式二：动态规划

我们可以用动态规划的思想来求解最大总和的子数组。具体来说，我们定义一个数组 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的子数组的最大总和。这样，原问题的答案就是所有 dp[i] 中的最大值。

状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])，即到第 i 个元素为止，最大的子数组要么是第 i 个元素本身，要么包含第 i 个元素。

时间复杂度为 $O(n)$。

def maxSubArray(nums):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
    return max(dp)

总结

通过以上两种方式的讲解，我们可以看出动态规划是一种更优的解法，它的时间复杂度更低。在算法竞赛或实际应用中，如果数组的长度非常大，暴力搜索的方法就会耗时很长，而动态规划则可以快速解决问题，提高效率。