GCD等于K的范围[L，R]中的四元组计数

简介

本文旨在介绍如何计算在给定范围[L，R]中，四个整数的最大公约数（GCD）等于给定值K的四元组的数量。我们将使用一种基于数学原理和编程算法的方法来解决这个问题。

问题描述

给定一个范围[L，R]和一个整数K，我们需要找到在这个范围内存在的四个整数（a，b，c，d），使得他们的最大公约数等于K。我们的目标是计算满足这个条件的四元组数量。

解决思路

我们将通过以下步骤解决问题：

1. 初始化计数器count为0，用于记录满足条件的四元组数量。
2. 对于给定范围内的每一个整数i（从L到R），我们将计算[i，R]范围内与K的最大公约数等于K的数的数量cnt，其中i是前一个循环中的整数。我们可以使用欧几里得算法（也称为辗转相除法）来计算两个数的最大公约数。
3. 将cnt加到count中。
4. 返回count作为结果。

代码示例（Python）

def count_quadruples(L, R, K):
    count = 0
    for i in range(L, R + 1):
        cnt = 0
        for j in range(i, R + 1):
            if gcd(j, K) == K:
                cnt += 1
        count += cnt
    return count

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

使用示例

L = 1
R = 10
K = 2

count = count_quadruples(L, R, K)
print(f"The count of quadruples with GCD equals {K} in range [{L}, {R}] is {count}.")

性能分析

• 时间复杂度：设范围为R-L+1。外部循环需要进行R-L+1次迭代，内部循环需要进行最多R-i+1次迭代。因此，总的时间复杂度为O((R-L+1)^2)。
• 空间复杂度：代码中没有使用除了输入参数以外的额外空间，因此空间复杂度为O(1)。

结论

通过使用欧几里得算法和双重循环，我们能够在给定范围内计算四元组的数量，使得它们的最大公约数等于给定值K。本文提供了一个简单的Python实现，并对其性能进行了分析。你可以基于这个算法进行进一步的优化和改进，以满足特定应用场景的需求。