GCD等于K的四倍数

在数学中，最大公约数（GCD）是两个或多个整数中最大的能够整除它们的数。在计算机科学中，这个概念被广泛应用于算法设计和优化。而GCD等于K的四倍数是一种特殊情况，本文将为程序员介绍如何解决这个问题。

问题描述

给定一个由$n$个正整数组成的数组$A$，你需要找到这个数组中有多少个数对$(i,j)$，满足$1\leq i,j\leq n$且GCD$(A_i,A_j)=4K$，其中$K$是任意正整数。

解决方案

为了解决这个问题，我们需要先了解GCD的计算方式。在数学中，GCD可以使用欧几里得算法（辗转相除法）进行求解。这个算法通过反复取两个数中的较小数作为被除数，较大数作为除数，并用余数替换被除数，直到余数为0为止。最后的除数就是最大公约数。

我们可以使用欧几里得算法来计算数组$A_i$和$A_j$的GCD，并判断其是否等于$4K$的倍数。这个算法的时间复杂度是$O(n^2\log n)$，会超时，因此需要进行优化。

观察题目中的条件，我们可以发现，如果$A_i$和$A_j$的余数都是$4K$，那么它们的GCD一定是$4K$的倍数。因此，我们可以统计数组$A$中余数为$4K$的数的个数，然后使用“组合排列”（combination permutation，简称C&P）方法计算数对数量。

具体来说，我们假设数组$A$中余数为$4K$的数的数量为$m$，那么答案就是$C_m^2+C_m^1$，即两个相同余数的数可以组成一个数对，一个余数不同的数也可以与一个相同余数的数组成一个数对。

代码实现

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

def count_pairs(A, K):
    if not A or K == 0:
        return 0
    count = [0] * (4*K + 1)
    for x in A:
        count[x % (4*K)] += 1
    ans = (count[0] * (count[0]-1) + count[0] * (sum(count)-count[0])) // 2
    for i in range(1, 4*K):
        ans += (count[i] * (count[i]-1)) // 2
        for j in range(i+1, 4*K, i):
            ans += count[i] * count[j]
    return ans

总结

本文介绍了如何解决GCD等于K的四倍数的问题。通过优化算法，我们可以将时间复杂度从$O(n^2\log n)$优化到$O(n)$，让计算变得更加高效。在实际编程中，需要注意数组下标的越界、整型溢出等问题。