联合查找算法

联合查找算法（Union Find Algorithm）是一种常用于解决等价关系的算法。该算法用于维护一个由若干个不相交集合组成的集族，并支持以下两种操作：

1. 查找（Find）：确定某个元素在哪个集合内。
2. 联合（Union）：将两个集合合并成一个集合。

本文将介绍一种按等级合并并按优化路径压缩查找的实现方式，该实现方式的时间复杂度为 $O(\alpha(n))$，其中 $\alpha$ 为阿克曼函数的反函数。

实现细节

等级合并

使用以下策略来合并两个集合：

1. 将 root 节点等级较低的集合根节点指向另一个集合根节点或者指向自己。
2. 等级相同的集合，我们可以由任意一个 root 节点作为新集合的根节点，但需要将该 root 节点等级加一。

该策略保证了等级较低的树成为等级较高的树的子树，这样将减少在路径压缩时需要压缩的路径长度。

优化路径压缩

在查找时，除了要找到某个元素所在集合，还需要压缩路径。优化路径压缩需要在查询时对树进行修改以减少查询时间。我们可以在查询时将每个节点的父节点设置为该节点所在集合的根节点。这样，相同集合的节点将放置在一颗子树下。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现的按等级合并并按优化路径压缩查找的代码实现：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        """
        初始化UnionFind类，n为节点数。
        """
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n

    def union(self, p, q):
        """
        合并节点p和q所在的集合。
        """
        root_p = self.find(p)
        root_q = self.find(q)
        if self.rank[root_p] > self.rank[root_q]:
            self.parent[root_q] = root_p
        elif self.rank[root_p] < self.rank[root_q]:
            self.parent[root_p] = root_q
        else:
            self.parent[root_q] = root_p
            self.rank[root_p] += 1

    def find(self, x):
        """
        查找节点x所在的集合并压缩路径。
        """
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

总结

联合查找算法是一种高效的解决等价关系的算法，其中按等级合并和优化路径压缩查找可以进一步降低时间复杂度。在实际应用中，在需要频繁合并集合的场景下，优先考虑使用联合查找算法。