分组方案数计算

程序员需要编写一个函数，可以计算将n个人分成k组的方案数。

方法一：排列组合

根据排列组合可知，将n个人分成k组的方案数为：

$$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

其中！代表阶乘符号。

代码实现

def count_grouping(n: int, k: int) -> int:
    """
    计算将n个人分成k组的方案数
    """
    def compute_factorial(n: int) -> int:
        """
        计算阶乘
        """
        if n <= 1:
            return 1
        return n * compute_factorial(n - 1)

    return compute_factorial(n) // (compute_factorial(k) * compute_factorial(n - k))

方法二：递推式

将n个人分成k组，可以考虑先将n-1个人分成k-1组，然后再将第n个人放入其中一组。也可以先将n-1个人分成k组，然后将第n个人单独分为一组。两种情况相加就是将n个人分成k组的方案数。

设$f(n,k)$表示将n个人分成k组的方案数，则可以得到递推式：

$$f(n,k) = f(n-1,k-1) + f(n-1,k)$$

边界条件：

$$f(n,1) = f(n,n) = 1$$

代码实现

def count_grouping(n: int, k: int) -> int:
    """
    计算将n个人分成k组的方案数
    """
    dp = [[0]*(k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][1] = dp[i][i] = 1
        for j in range(2, k+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
    return dp[n][k]

总结

以上两种方法分别适用于不同的场景，排列组合方法适合求解小规模问题，递推式方法适合求解大规模问题。程序员可以根据具体问题的规模和复杂程度来选择合适的方法。