插入按交换元素排序

简介

插入按交换元素排序（Shell Sort）是基于插入排序的一种排序算法，也被称为希尔排序（Shell Sort）。希尔排序改进了插入排序的时间复杂度，它是一种不稳定的排序算法。希尔排序先将待排序元素按一定间隔分组，对每组使用插入排序，随着间隔逐渐减小，每组包含的元素越来越多，最后整个数组被分成一组，直接使用插入排序进行排序。

原理

希尔排序使用一个增量序列 gap，将数组分成 gap 个子序列，对每一个子序列进行插入排序，直到每个子序列都被排好序。随后逐渐减小增量序列 gap，重复上述步骤，直到 gap=1，数组已被完全排序。

例如，给出一个待排序的数组 a=[4, 2, 1, 6, 3, 7, 5, 8]，按照步长 gap=4，我们将数组分成了四个序列：

序列1：[4, 3]

序列2：[2, 7]

序列3：[1, 5]

序列4：[6, 8]

对于每个序列进行插入排序，排序后得到：

序列1：[3, 4]

序列2：[2, 7]

序列3：[1, 5]

序列4：[6, 8]

随后，减小 gap=2，将数组分成两个子序列：

序列1：[3, 1, 6]

序列2：[4, 2, 7, 5, 8]

对每个子序列进行插入排序，排序后得到：

序列1：[1, 3, 6]

序列2：[2, 4, 5, 7, 8]

最后，将 gap=1，此时整个数组被分成一个序列，直接进行插入排序：

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

至此排序完成。

代码示例

以下为 Python 实现的 Shell Sort：

def shell_sort(arr):
    n = len(arr)
    gap = n // 2
    while gap > 0:
        for i in range(gap, n):
            temp = arr[i]
            j = i
            while j >= gap and arr[j - gap] > temp:
                arr[j] = arr[j - gap]
                j -= gap
            arr[j] = temp
        gap //= 2
    return arr

时间复杂度

希尔排序的时间复杂度取决于增量序列 gap 的选择方法。最好情况下，当数组已按照顺序排好时，此时只进行一次插入排序，时间复杂度为 O(n)。最坏情况下，当增量序列取一定数值的幂次时，时间复杂度为 O(n^2)。

在实际应用中，是使用 Knuth 间隔序列（gap = (3^k - 1) / 2）。

空间复杂度

希尔排序的空间复杂度为 O(1)，表示空间需求相对较小，适用于嵌入式系统和手机等内存有限的设备。

总结

插入按交换元素排序是对插入排序的改进，它通过选定增量序列将数组进行分组排序，实现了在不使用辅助数组的情况下提高了插入排序算法的效率。希尔排序的时间复杂度和空间复杂度都比较适中，适用于一些内存有限的嵌入式系统和其他一些具有特定限制的设备。