计算将M个对象放置在N个盒子的不同分区中的方法

在许多计算机科学问题中，经常遇到需要将一组对象分成多组的情形。以M个对象放置在N个盒子的不同分区中为例，本文将介绍如何计算不同分区的方法。

利用斯特林数计算不同分区的方法

假设我们需要将M个对象分成N个非空的子集，我们可以利用斯特林数计算不同分区的方法。

斯特林数以数学家詹姆斯·斯特林 (James Stirling) 命名，表示将N个不同元素划分成M个不同非空集合的方案数，记为 S(N, M)。

斯特林数可以用递推公式和显式公式进行计算：

1. 递推公式

$$S(N, M) = S(N - 1, M - 1) + (N - 1) * S(N - 1, M)$$

2. 显式公式

$$S(N, M) = \frac{1}{M!} \sum_{i=0}^{M} (-1)^{M-i} * \binom{M}{i} * i^N$$

根据上述公式，我们就可以计算出将M个对象放置在N个盒子的不同分区中的方法。以下是该问题的Python实现：

from math import comb

def calc_stirling_number(N, M):
    if N == M or M == 1:
        return 1
    return (N - 1) * calc_stirling_number(N - 1, M) + calc_stirling_number(N - 1, M - 1)

def calc_partition_num(N, M):
    partition_num = 0
    for i in range(1, M + 1):
        partition_num += (-1) ** (M - i) * comb(M, i) * i ** N
    partition_num //= math.factorial(M)
    return partition_num

总结

本文介绍了如何利用斯特林数计算将M个对象放置在N个盒子的不同分区中的方法。通过递推公式和显式公式，我们可以在计算机程序中实现该计算。