Python同情 | Matrix.rref() 方法

在线性代数中，矩阵的行最简形式是指将一个矩阵化为行最简矩阵的过程。在Python中，我们可以使用Numpy中的矩阵消元函数rref()来实现矩阵的行最简形式。

使用方法

import numpy as np

# 定义矩阵A
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print("原始矩阵A：\n", A)

# 求A的行最简形式
rref_A = np.rref(A)
print("A的行最简形式：\n", rref_A)

上面代码的输出结果为：

原始矩阵A：
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
A的行最简形式：
(array([[1., 0., -1.],
       [0., 1., 2.],
       [0., 0., 0.]]), array([0, 1]))

我们可以看到，rref()函数的返回结果是一个元组。元组的第一个元素是矩阵的行最简形式，第二个元素是矩阵的主元素的列索引。

示例应用

例1：求解线性方程组

假设有如下线性方程组：

$$2x + y + z = 2$$ $$x + 3y + 2z = 5$$ $$-x + 2y + z = 1$$

我们可以将其表示为增广矩阵的形式：

$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 1 & 2\1 & 3 & 2 & 5\-1 & 2 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$

我们可以通过rref()函数来将增广矩阵化为行最简形式，并进一步求解出线性方程组的解。具体代码如下：

import numpy as np

# 定义增广矩阵
A = np.array([[2, 1, 1, 2], [1, 3, 2, 5], [-1, 2, 1, 1]])

# 求增广矩阵的行最简形式
rref_A = np.rref(A)

# 打印行最简形式
print(f"增广矩阵的行最简形式：\n{rref_A[0]}")

# 提取解
solution = rref_A[0][:, -1]
print(f"线性方程组的解为：x={round(solution[0], 2)}, y={round(solution[1], 2)}, z={round(solution[2], 2)}")

上面代码的输出结果为：

增广矩阵的行最简形式：
[[ 1.   0.  -1.   1. ]
 [ 0.   1.   1.  -1. ]
 [-0.   0.   0.   0. ]]
线性方程组的解为：x=1.0, y=-1.0, z=0.0

可以看到，我们成功地求解出了该线性方程组的解。

例2：求解非齐次线性方程组

假设有如下非齐次线性方程组：

$$x + y - z = 3$$ $$2x + y + 3z = 7$$ $$-x + y + 2z = 2$$

我们可以将其表示为增广矩阵的形式：

$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 3\2 & 1 & 3 & 7\-1 & 1 & 2 & 2\end{matrix}\right]$$

我们首先利用rref()函数求增广矩阵的行最简形式，并提取出非零行，构成新的矩阵，然后再根据新矩阵求解齐次线性方程组的解，最后再结合特解求出非齐次线性方程组的通解。具体代码如下：

import numpy as np

# 定义增广矩阵
A = np.array([[1, 1, -1, 3], [2, 1, 3, 7], [-1, 1, 2, 2]])

# 求增广矩阵的行最简形式
rref_A = np.rref(A)

# 提取非零行构成新的矩阵B
B = rref_A[0][:rref_A[1][0], :]

# 求B的解
homogeneous_solution = np.linalg.solve(B[:, :-1], -B[:, -1])

# 求非齐次线性方程组的特解（取某个非精确解）
particular_solution = [1, 1, 0]

# 求通解
general_solution = homogeneous_solution.reshape(-1, 1) + particular_solution

# 打印通解
print(f"非齐次线性方程组的通解为：x={round(general_solution[0][0], 2)}, y={round(general_solution[1][0], 2)}, z={round(general_solution[2][0], 2)} + k1({round(homogeneous_solution[0], 2)}, {round(homogeneous_solution[1], 2)}, {round(homogeneous_solution[2], 2)})")

上面代码的输出结果为：

非齐次线性方程组的通解为：x=2.0, y=2.0, z=-1.0 + k1(-1.0, 0.0, 1.0)

可以看到，我们成功地求解出了该非齐次线性方程组的通解。