在 Java 中计算 MCD

计算最大公约数（MCD）是计算两个或多个整数最大公约数的过程。在 Java 中计算 MCD 有多种方法，我们将讨论其中两种方法。

方法一：暴力枚举

计算 MCD 的一种简单方法是通过暴力枚举，即从两个整数中较小的开始，逐个减少，直到能够同时整除两个数为止。这种方法的复杂度为 $O(\min(a,b))$。

public static int mcd(int a, int b) {
    int mcd = 1;
    for (int i = 1; i <= Math.min(a, b); i++) {
        if (a % i == 0 && b % i == 0) {
            mcd = i;
        }
    }
    return mcd;
}

方法二：欧几里得算法

欧几里得算法（辗转相减法）是一种高效的计算 MCD 的方法。该算法基于以下性质：

• 若 $a \geq b$，则 $a$ 和 $b$ 的 MCD 等于 $a$ 减去 $b$ 的 MCD 和 $b$ 的 MCD。
• 若 $a < b$，则可以将 $a$ 和 $b$ 互换位置再计算 MCD。

根据上述性质，我们可以反复使用欧几里得算法，将两个整数不断递归缩小，直到其中一个数为零。该算法的复杂度为 $O(\log(\max(a,b)))$。

public static int mcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    } else {
        return mcd(b, a % b);
    }
}

总结

欧几里得算法是计算 MCD 的一种高效方法，比暴力枚举更快速，可以用于大数值的快速计算。在实际应用中，我们应该优先使用欧几里得算法来计算 MCD。