给定数组中唯一比率分数对的最大计数

介绍

我们有一个整数数组，其中的元素满足 $0 \le A[i] \le 10^9$ 。我们将两个元素 $A[i]$ 和 $A[j]$ 成为一个比率分数对，当且仅当 $i < j$ 且 $A[i]$ 和 $A[j]$ 是整数的互质数（也就是它们的最大公约数为 1）。特别地，给定数组中相同元素不能成为一个比率分数对。

请你返回数组中最大的比率分数对计数。如果不存在这样的一对数字，返回 0 。

解法

我们可以通过枚举所有比率分数对，来计算能够构成比率分数对的元素数量，但时间复杂度将会是 $O(n^2)$，无法通过本题。

我们需要寻找其他的解法。根据互质数的求法，我们可以使用辗转相除法来计算两个数的最大公约数。这个算法时间复杂度是 $O(\log{\min(a,b)})$。 当我们求出两个数的最大公约数后，就可以判断它们是否构成比率分数对了。

考虑到每个数可能会有多个互质的元素，我们可以使用哈希表来存储每个元素对应的所有互质数。具体的，我们使用一个哈希表 $hashmap$，其中键为元素 $a$，值为集合 $S$，集合 $S$ 中存储所有与元素 $a$ 互质的元素。哈希表可以在 $O(1)$ 时间内查找一个键对应的值。

在建立好哈希表后，我们可以遍历哈希表，对于每一个键值对 $(a,S)$，我们使用 $dp(i,a)$ 表示数列 $A_{1 \dots i}$ 中以 $a$ 为结尾的能够构成比率分数对的最长子序列的长度。我们将最终结果 $ans$ 定义为所有 $dp(i,a)$ 中的最大值。

对于动态规划的状态转移方程，我们可以考虑枚举数列中除 $a$ 外的最后一个元素 $b$（可以通过哈希表来获取 $a$ 的所有互质元素），并检查 $dp(i-1,b)$ 是否存在。如果 $dp(i-1,b)$ 存在，那么以 $a$ 结尾的能够构成比率分数对的最长子序列的长度就是 $dp(i-1,b)+1$。如果 $dp(i-1,b)$ 不存在，则以 $a$ 结尾的能够构成比率分数对的最长子序列的长度就是 1。最终 $dp(i,a)$ 的值就是所有枚举的值中的最大值。

根据上述方程，时间复杂度为 $O(n^2 \log{V})$，其中 $V$ 为数组中最大的元素值。空间复杂度也为 $O(n^2 \log{V})$。

代码

from collections import defaultdict

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def maxScore(nums):
    n = len(nums)
    dp = defaultdict(int)
    hashmap = defaultdict(set)
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if gcd(nums[i], nums[j]) == 1:
                hashmap[nums[i]].add(nums[j])
                hashmap[nums[j]].add(nums[i])

    ans = 0
    for a in hashmap:
        dp[(1, a)] = 1
        for i in range(2, n+1):
            for b in hashmap[a]:
                if (i-1, b) in dp:
                    dp[(i, a)] = max(dp[(i, a)], dp[(i-1, b)]+1)
        ans = max(ans, max(dp.values()))

    return ans

该代码为 Python 代码。