计算矩形中的正方形数

在一个矩形中，很可能存在很多个正方形。如何快速计算这些正方形的数量呢？本文将介绍一个高效的算法。

思路

假设矩形的边长分别为 $m$ 和 $n$，且 $m \leq n$。我们可以枚举正方形的边长 $k$，从 $1$ 到 $\min(m, n)$。对于每个 $k$，我们可以将矩形中的所有以 $(i, j)$ 为左上角，边长为 $k$ 的正方形都找出来。如图所示：

可以发现，对于一个 $(i, j)$，其能够构成正方形的最大边长为 $\min(m-i+1, n-j+1)$。因此，我们可以用 $\min(m-i+1, n-j+1)$ 减去 $k-1$，得到以 $(i, j)$ 为左上角，边长为 $k$ 的正方形数量，然后将所有的结果相加，即得到总的正方形数量。

代码实现

我们可以使用两重循环枚举 $(i, j)$，对于每个 $(i, j)$，再使用一重循环枚举边长 $k$，计算出以 $(i, j)$ 为左上角，边长为 $k$ 的正方形数量，最后将所有的结果相加。

def count_squares_in_rect(m, n):
    count = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            for k in range(1, min(m-i+1, n-j+1)):
                count += 1
    return count

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(m^2n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

结语

以上就是计算矩形中的正方形数的一个高效算法。希望本文能够对你有所帮助。