生成根的最小边反转

简介

在一棵带权树上，定义树根为根节点的权重和最小的节点。现在需要对这棵树进行一次操作，即选择一条边将其进行反转（即原本是从父节点到子节点的边变成从子节点到父节点的边）。操作后，根节点会变成其他节点，且需要重新求得新的根节点。本文将介绍如何选择一条最小的边进行反转，使得生成的新根节点的权重和最小。

解法

该问题可以通过两次 DFS 来解决。

第一次 DFS

首先任选一个节点为根节点，在每个节点处统计子树大小 $size$ 和子树内结点权重和 $sum$。我们可以用以下代码实现：

int dfs1(int u, int fa) {
    size[u] = 1;
    for (int v : adj[u]) {
        if (v != fa) {
            size[u] += dfs1(v, u);
            sum[u] += sum[v] + size[v];
        }
    }
    return size[u];
}

第二次 DFS

接下来，我们从根节点出发，遍历树中的所有节点，计算以当前节点作为根节点时，树内节点的权重和。我们可以定义一个变量 $cur$ 来保存当前根节点的权重和。每经过一个节点 $u$，就将 $cur$ 减去子树内节点权重和 $sum[u]$，再加上剩余节点个数（不包括 $u$ 子树内节点数）内节点权重和 $sum_{rest}$。再根据剩余节点数量，可以利用 $size$ 计算出 $sum_{rest}$。最后，就可以更新最小的根节点和最小的反转边了。

void dfs2(int u, int fa) {
    for (int v : adj[u]) {
        if (v == fa) continue;
        int cur = sum[u] - (sum[v] + size[v]) + (n - size[v]) * (sum[v] + size[v]);
        if (cur < minW) {
            minW = cur;
            root = v;
            flip = {u, v};
        }
        dfs2(v, u);
    }
}

其中，$n$ 表示树的总节点数。在遍历完成后，$root$ 存储了新的根节点编号，$flip$ 存储了需要反转的边的两个端点。

总结

本文介绍了生成根的最小边反转问题的解法，可以利用两次 DFS 来解决，在实际使用中具有较高的效率和正确性。