算法 | 图最小生成树 | 问题2

在图论中，最小生成树是一个连通无向图的生成树，它的所有边的权重之和最小。在这个问题中，我们需要找到一种算法，来求解图的最小生成树。

常见算法

Prim算法

Prim算法是一种贪心算法，它的主要思想是维护一个已访问的顶点集合和一个未访问的顶点集合，一开始已访问的顶点集合为空集合，未访问的顶点集合为原图的全部顶点。每次从已访问的顶点集合中取出一个顶点，以它作为起始点，寻找一条到未访问的顶点集合中的顶点的边权值最小的边，并将该顶点加入已访问的顶点集合。这样不断重复，直到所有顶点都被加入已访问的顶点集合。

Prim算法的时间复杂度为 $O(ElogV)$，其中 $V$ 为顶点数，$E$ 为边数。

Kruskal算法

Kruskal算法也是一种贪心算法，它将所有的边按照权值从小到大排序，依次选择每一条边，如果它加入后不会形成环，则选择该边，否则放弃该边。最终生成的就是最小生成树。

Kruskal算法的时间复杂度为 $O(ElogE)$，其中 $E$ 为边数。

问题2

问题2要求我们在图中增加一条权重为 $w$ 的边，问最小生成树的变化量是多少？

解决这个问题可以使用 Prim 或 Kruskal 算法生成原图的最小生成树 $T$，然后再对新加入的边进行判断：如果这条边的两个端点已经在同一个连通块中，说明加入该边不改变最小生成树，变化量就是 $0$；否则，我们需要找到连接这两个连通块的最小的一条边，并记录其权重，然后将这条新边加入原图中并重新求解最小生成树，最后新的最小生成树的权值减去原来的最小生成树的权值就是变化量。

下面是使用 Prim 算法求解的示例代码：

def prim(n, edges, w, s):
    # 构建原图，图中每个节点用数字 0~n-1 表示
    graph = [[] for _ in range(n)]
    for u, v, weight in edges:
        graph[u].append((v, weight))
        graph[v].append((u, weight))

    # Prim 算法
    pq = [(0, s)]
    mst = set()
    dist = {i: float('inf') for i in range(n)}
    dist[s] = 0
    while pq:
        weight, u = heapq.heappop(pq)
        if u in mst:
            continue
        mst.add(u)
        for v, edge_weight in graph[u]:
            if v not in mst and edge_weight < dist[v]:
                dist[v] = edge_weight
                heapq.heappush(pq, (edge_weight, v))

    # 计算变化量
    for u, v, edge_weight in edges:
        if u in mst and v in mst and (u, v) not in mst and (v, u) not in mst:
            if edge_weight >= w:
                break
            else:
                graph[u].append((v, w))
                graph[v].append((u, w))
                pq = [(0, s)]
                mst = set()
                dist = {i: float('inf') for i in range(n)}
                dist[s] = 0
                while pq:
                    weight, u = heapq.heappop(pq)
                    if u in mst:
                        continue
                    mst.add(u)
                    for v, edge_weight in graph[u]:
                        if v not in mst and edge_weight < dist[v]:
                            dist[v] = edge_weight
                            heapq.heappush(pq, (edge_weight, v))
                return sum(dist.values()) - weight
    return 0

我们先构建原图，然后利用 Prim 算法求出最小生成树，然后对新边 $u-v$ 进行判断：如果 $u$ 和 $v$ 已经在同一个连通块中，直接返回变化量 $0$；否则，我们在原图中加入边 $u-v$ 并重新求解最小生成树，并返回新的最小生成树的权值减去原来的最小生成树的权值，即为变化量。

本例代码中使用的是 heapq 库来实现优先队列，可以在 Python 内置的库中找到。