UGC NET CS 2018 年 12 月 – II | 问题 76

简介

UGS NET CS 2018 年 12 月 - II 是印度政府主办的一场国家教资会计算机科学考试，考察了参与者对计算机科学领域的基础知识及应用能力。其中，问题 76 关注于数据结构和算法方面的知识。

问题描述

有一个无向图 $G$，其结点数为 $n$，每个结点的度数为 $d_{v}$。现在我们向这个无向图中增加 $k$ 条边，使得新的图 $G'$ 成为一个欧拉图（即 $G'$ 中存在一条回路包含每一条边且仅经过一次）。请问 $k$ 的最大值是多少？

思路解析

由于一个欧拉图必须满足每个结点的度数为偶数，因此我们需要对当前无向图 $G$ 中每一个结点的度数 $d_{v}$ 进行统计并判断是否为奇数。接着，我们可以使用握手定理：

$$\sum_{i=1}^{n} d_{i} = 2k$$

其中，$k$ 表示边数，等式右侧表达式为 $G'$ 中所有结点度数的和。因此，可以推导得出：

$$\frac{\sum_{i=1}^{n}d_{i}}{2} = k$$

也就是说，$k$ 的最大值正好是 $\frac{\sum_{i=1}^{n}d_{i}}{2}$ 的向下取整，即：

int sumDegree = 0;
for(int degree : degrees) {
    sumDegree += degree;
    if(degree % 2 != 0) {
        oddNumberCount++;
    }
}
int maxEdges = sumDegree / 2;
if(oddNumberCount > 2 || !isConnectedGraph(degrees.length, edges.length)) {
    return -1; // 如果相邻结点有奇次数个，或者 Graph 非连通图，则无法形成欧拉图，返回 -1。
} else if(oddNumberCount == 2) {
    return maxEdges + 1;
} else {
    return maxEdges;
}

其中，degrees 数组用于存储每个结点的度数，oddNumberCount 用于统计结点度数为奇数的个数，isConnectedGraph 方法用于判断图是否连通。

总结

以上是本题的思路解析和参考代码，如果您对数据结构和算法方面的知识感兴趣，可以考虑报考该计算机科学方向的考试。