覆盖无限网格上的点序列所需的最少步骤

问题描述

给定一个无限网格（即可以在任意方向扩展的网格）和一组需要覆盖的点序列，点序列中的每个点都需要被至少一个移动范围为 $k$ 的矩形覆盖。移动范围为 $k$ 的矩形指的是以该点为中心，边长为 $2k$ 的正方形。求覆盖该点序列所需的最少步骤数。

解决方案

该问题可以使用贪心的思路进行简单地求解。首先我们需要明确一点，即无限网格上，每个点都可以通过一系列移动范围为 $k$ 的矩形来覆盖。所以我们只需要考虑如何在尽可能少的步骤中将点序列覆盖即可。

具体的解决方案如下：

1. 对于点序列中的每个点 $p$，找到最小的矩形 $r_p$，使得矩形 $r_p$ 能够覆盖点 $p$，并且矩形的边长为 $2k$ 或 $2k+1$；
2. 对所有矩形进行排序，首先按照边长从小到大排列，然后再按照左边界从小到大排列。排序后，得到矩形序列 $R$；
3. 依次按顺序将矩形 $r_i$ 加入一个可行的矩形集合 $S$ 中。加入时需要满足矩形 $r_i$ 与 $S$ 中的所有矩形没有交集，即矩形 $r_i$ 的右边界在 $S$ 中所有矩形的左边界的左侧；
4. 在保证 $S$ 中所有矩形无交集的前提下，将 $S$ 中的所有矩形向右移动一定距离，使得所有矩形的左边界恰好对齐；
5. 重复步骤 3 和 4，直到 $R$ 中所有矩形都被加入了 $S$ 中。

在上述过程中，步骤 1 的时间复杂度为 $O(n)$，步骤 2 和 5 的时间复杂度为 $O(n\log n)$。而步骤 3 和 4 可以通过维护一个树状数组或线段树来实现（时间复杂度为 $O(n\log n)$）。因此总的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

代码实现

以下是使用 Python 实现上述思路的程序：（代码片段）

def get_rect(p):
    """求点 p 所在矩形的边界"""
    x, y = p
    left = (x // (2 * k)) * (2 * k)
    right = left + 2 * k - 1
    top = (y // (2 * k)) * (2 * k)
    bottom = top + 2 * k - 1
    return left, top, right, bottom

def min_steps(points, k):
    """计算覆盖点序列 points 所需的最少步骤数"""
    rects = [(get_rect(p), p) for p in points]
    rects.sort(key=lambda x: (x[0][2] - x[0][0] + 1, x[0][0]))
    steps = 0
    cur_right = float('-inf')
    for rect, p in rects:
        if rect[0] >= cur_right:
            steps += 1
            cur_right = rect[2]
    return steps