使任何两个数组元素相等的最小按位与运算

介绍

在给定一个长度为 n 的数组中，找到一种操作方法，使得每一次操作可以选择任意两个元素，并将它们的值都减少为它们的按位与运算值。重复进行这样的操作，直到所有的元素都相等，操作的总次数就是最小值。

解法

我们可以考虑将题目中给定的数组按照二进制位的值进行分类，对于第 k 位为 1 的所有数，我们将其分为一个集合 S_k。由于两个数按位与的结果取决于位值均为 1 的位，因此如果一个数 x 和另外一个数 y 的第 k 位均为 1，那么只能操作这两个数，将它们的第 k 位变为 0。因此，只有在同一个集合中的数才有可能进行操作。

对于一个集合 S_k，如果其包含的数的数量小于 2，那么它无法进行任何操作，我们可以直接忽略它。否则，我们需要将其全部相加，从而得到 S_k 的总和 S_k_sum。注意到按位与的结果中 k 位均为 0，因此每次操作都会将 S_k 中的数的和减少 k 位的值。因此，集合 S_k 需要进行的最小操作数为 k * (|S_k| - 1)，其中 || 表示集合的大小。

最终的答案就是所有集合需要进行的最小操作数之和。

下面是 Python 代码实现：

from typing import List


def min_bitwise_and(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    max_bit = max(nums).bit_length() - 1
    cnt = [0] * (max_bit + 1)
    for num in nums:
        for i in range(max_bit + 1):
            if num & (1 << i):
                cnt[i] += 1

    ans = 0
    for i in range(max_bit + 1):
        if cnt[i] >= 2:
            ans += (1 << i) * (cnt[i] - 1)

    return ans

性能分析

本算法的时间复杂度为 O(nlogm)，其中 m 为数组中最大值的二进制位数。空间复杂度为 O(logm)。由于需要遍历数组并统计每个数字的每个二进制位的值，因此时间复杂度的下限为 O(nlogm)。

总结

本题给出的算法思路比较巧妙，对于每个集合 S_k，都需要仅需要操作集合中的任意两个数。这其实是利用了按位与运算的性质。本题还可以有另外一种做法，即对于每个位置 i，统计数组中所有元素二进制表示中第 i 位为 1 的个数 p_i，按照 p_i 乘以 2 的 i 次方进行排序，从小到大进行遍历，并对相邻两个集合进行合并，直到最后只剩下一个集合，此时的操作数即为答案。这种做法的时间复杂度也为 O(nlogm)。