门 | Sudo GATE 2021 测验 |问题 15

问题描述

假设有一个大小为n的有向图，节点编号为1到n。 对于每个节点i（1≤i≤n），有ai个出边，并且每个节点i的所有出边都有一个唯一的目标节点。一个节点j被称为节点i的邻居，当且仅当存在一条从节点i到节点j的边。 给定一个起始节点s和一个结束节点t，你需要编写一个程序，返回一个布尔值来指示是否可以从s到达t，其中在某个时刻传递每个节点时，所有进入节点i的边数量等于离开节点i的边数量，除了s和t之外。 在程序中使用以下函数定义：

def is_reachable(s: int, t: int, a: List[List[int]]) -> bool:

其中列表a的大小为n，a[i][j]表示从节点i到节点a[i][j]的边存在。

解题思路

本题是一个图论问题，我们需要对图进行遍历，找出是否能够从起点s到达终点t。但是在遍历的过程中，我们还需要考虑一个复杂的限制条件：所有进入每个节点的边数量必须等于离开每个节点的边数量，除了起点s和终点t。

因此，我们需要考虑如何遍历图的同时满足这个限制条件。一种可行的做法是使用拓扑排序，并在排序的过程中进行判断。拓扑排序是一种有向图的排序算法，它的基本思想是先将图中入度为0的节点加入结果集中，并将这些节点从图中删除，然后更新其它节点的入度，不断重复这个过程，直到图中没有节点可以加入结果集中为止。

因为在拓扑排序的过程中，只有入度为0的节点才会被加入结果集中，因此我们可以利用这个特点，在遍历的过程中判断每个节点的入度和出度是否相等，如果不相等则说明这个节点的流量不平衡，返回False；如果遍历结束后都没有发现流量不平衡的情况，说明从起点s可以到达终点t，返回True。

代码实现

from typing import List

def is_reachable(s: int, t: int, a: List[List[int]]) -> bool:
    n = len(a)
    in_degree = [0] * n
    out_degree = [0] * n
    for i in range(n):
        out_degree[i] = len(a[i])
        for j in a[i]:
            in_degree[j] += 1
    if in_degree[s] != out_degree[s] - 1 or in_degree[t] != out_degree[t] + 1:
        return False
    
    queue = [s]
    visited = [False] * n
    visited[s] = True
    while queue:
        u = queue.pop(0)
        for v in a[u]:
            in_degree[v] -= 1
            out_degree[u] -= 1
            if out_degree[u] < 0 or in_degree[v] < 0:
                return False
            if not visited[v] and in_degree[v] == out_degree[v]:
                queue.append(v)
                visited[v] = True
    return visited[t]

复杂度分析

这个算法的时间复杂度是O(m+n)，其中m是边的数量，n是节点的数量。算法的空间复杂度也是O(m+n)，其中最耗费空间的部分是引入的in_degree和out_degree数组。因此，这个算法在实际应用中表现良好，并且适用于中等规模的图。