顶点覆盖问题|集合2(树的动态编程解决方案)

什么是顶点覆盖问题?

顶点覆盖问题是一个基本的图论问题，是指在一个无向图中，找出一组最小的顶点集，使得每条边都至少有一个端点在这个集合中，这个集合就被称为图的“顶点覆盖”。顶点覆盖问题在实际应用中有很多的应用，比如计算机网络中的路由协议、物流配送中的路径选择等。

如何解决顶点覆盖问题?

图的顶点覆盖问题是NP完全问题，即目前没有时间多项式可以解决它，但是我们可以使用一些近似算法和启发式算法来得到比较好的解决方案。其中，一种较为常见的解决方案就是使用动态编程算法。

树的动态编程解决方案

树是一种特殊的图，其中不存在环路，我们可以使用动态编程算法来解决树的顶点覆盖问题。设 $S(v)$ 表示以 $v$ 为根节点的子树的最小顶点覆盖大小，$f(v,0/1)$ 表示以 $v$ 为根节点的子树是否选择了 $v$ 这个节点，则有以下动态规划方程：

$$ \begin{aligned} & S(v)=\min {f(v,0), f(v,1)} \ & f(v,0)=\sum_{u\in children(v)}S(u) \ & f(v,1)=1+ \sum_{u\in descendants(v),w\in children(u)}S(w) \end{aligned} $$

其中，$S(v)$ 表示以 $v$ 为根节点的子树的最小顶点覆盖大小，$f(v,0)$ 表示以 $v$ 为根节点的子树没有选择 $v$ 这个节点的最小顶点覆盖大小，$f(v,1)$ 表示以 $v$ 为根节点的子树选择了 $v$ 这个节点的最小顶点覆盖大小。树的遍历可以使用 DFS 或 BFS 来实现，这里不再赘述。

下面是 Python 实现代码：

def dfs(v, graph, dp):
    """
    树的遍历，实现动态规划
    """
    dp[v][1] = 1
    for u in graph[v]:
        dfs(u, graph, dp)
        dp[v][0] += dp[u][1]
        dp[v][1] += min(dp[u][0], dp[u][1])

def min_vertex_cover(tree):
    """
    树的顶点覆盖问题
    """
    if len(tree) == 0:
        return 0
    graph = [[] for _ in range(len(tree))]
    for i, v in enumerate(tree):
        for u in v:
            graph[i].append(u)
    dp = [[0, 0] for _ in range(len(tree))]
    dfs(0, graph, dp)
    return min(dp[0][0], dp[0][1])

其中，dfs 函数实现了树的遍历和动态规划，min_vertex_cover 函数给出了最小顶点覆盖大小。这里使用了一个 $n\times 2$ 的二维数组 dp 来保存动态规划状态，其中第一列表示不选当前节点，第二列表示选当前节点。

总结

树的动态编程解决方案是解决顶点覆盖问题的一种常用算法。它基于树的特殊结构，通过动态规划的方式求解最小顶点覆盖大小。这种方法的时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度也是 $O(n)$，其中 $n$ 为树的节点个数。