顶点覆盖问题 | 设置 2

概览

顶点覆盖问题是在图论中经常出现的问题之一。它的定义如下:

给定一个无向图 $G = (V,E)$，顶点覆盖是一个集合 $S \subseteq V$，使得每条边至少与集合 $S$ 中的一个顶点相连。顶点覆盖的大小是 $|S|$，即集合 $S$ 中的元素个数。顶点覆盖问题就是找到一个最小的顶点覆盖集合 $S$。

顶点覆盖问题是一个 NP-完全问题，因为它非常类似于另一个 NP-完全问题：独立集问题。独立集问题是找到一个最大的点集 $S$，使得 $S$ 中没有两个点相邻。顶点覆盖问题是找到一个最小的点集 $S$，使得 $S$ 中的每个点都有一个相邻点。

在这篇文章中，我们将探讨在树上动态规划方案解决顶点覆盖问题。

动态规划方案

考虑一个简单的树 $T = (V,E)$。我们需要找到一个最小的子集 $S$，使得每个边 ${u,v}$ 都至少连接到 $S$ 中的一个节点。

假设 $T$ 的根节点是 $r$。我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义 $dp[u][0/1]$ 表示以下两个情况的最小覆盖大小：

• $u$ 不包含在最小覆盖中。
• $u$ 包含在最小覆盖中。

对于第一种情况，子节点可以包含在最小覆盖中，也可以不包含在最小覆盖中。对于第二种情况，所有的子节点必须包含在最小覆盖中。

因此，我们可以得到以下递推式：

$dp[u][0] = \sum_{v \in \mathrm{Children}(u)}{\min(dp[v][0],dp[v][1])}$

$dp[u][1] = 1 + \sum_{v \in \mathrm{Children}(u)}{dp[v][0]}$

其中 $\mathrm{Children}(u)$ 指的是节点 $u$ 的子节点的集合。

最终的答案为 $\min(dp[r][0],dp[r][1])$。

下面的代码展示了如何使用动态规划来解决顶点覆盖问题：

def vertex_cover(root):
    dp = [[0, 0] for _ in range(len(root))]
    # 遍历顺序需要保证子节点先于父节点被访问
    def dfs(u):
        for v in u.children:
            dfs(v)
            dp[u][0] += min(dp[v][0], dp[v][1])
            dp[u][1] += dp[v][0]
        dp[u][1] += 1
    
    dfs(root)
    return min(dp[root][0], dp[root][1])

总结

在本篇文章中，我们介绍了顶点覆盖问题，并给出了一个动态规划方案来解决它。使用节点覆盖问题可以得到一个最小的点集 $S$，使得 $S$ 中的每个点都有一个相邻点。动态规划方案通常是解决这个问题的最佳选择之一。